Поляризованное алгебраическое многообразие

- пара (V,x)> где V - полное гладкое многообразие над алгебраически замкнутым полем k,| из Pic V/PicoV - класс нек-рого обильного обратимого пучка, PicoV-связная компонента абелевой схемы Пикара Pic V. В случае, когда V - абелево многообразие, определено также понятие степени поляризации П. а. м.; она совпадает со степенью изогении [img: http://localhost:8080/file/041731-133.jpg], определяемой пучком [img: http://localhost:8080/file/041731-134.jpg], а именно [img: http://localhost:8080/file/041731-135.jpg]: где Т х - морфизм сдвига на [img: http://localhost:8080/file/041731-136.jpg]. Поляризация степени 1 наз. главной поляризацией. Понятие П. а. м. тесно связано с понятием поляризованного семейства алгебраич. многообразий. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041731-137.jpg] - семейство многообразий с базой S, то есть f - гладкий проективный морфизм схемы Xна нётерову схему S, слоями к-рого являются алгебраич. многообразия. Поляризованным семейством наз. пара (X/S,x/S), где X/S - семейство [img: http://localhost:8080/file/041731-138.jpg] с базой S,a x/S - класс относительно обильного обратимого пучка [img: http://localhost:8080/file/041731-139.jpg] в Ноm (5, Pic X/S).по модулю Нот(S, PicoX/S), где Pic X/S- относительная схема Пикара. Введение понятий поляризованного семейства и П. а. м. необходимо для построения пространств модулей алгебраич. многообразий (см. Модулей теория). Так, напр., не существует пространства модулей всех гладких алгебраич. кривых рода [img: http://localhost:8080/file/041731-140.jpg], а для поляризованных кривых такое пространство модулей существует [4]. Одним из первых вопросов, связанных с понятием поляризации многообразий, является вопрос об одновременном погружении в проективное пространство поляризованных многообразий с фиксированными численными инвариантами. Если (V,x) содержится в качестве слоя в поляризованном семействе (X/S,x/S) со связной базой S и относительно обильным пучком [img: http://localhost:8080/file/041731-141.jpg], то существует ли такая константа с, зависящая только от многочлена Гильберта [img: http://localhost:8080/file/041731-142.jpg], что при п>с пучки [img: http://localhost:8080/file/041731-143.jpg] с многочленом Гильберта h(n).и с [img: http://localhost:8080/file/041731-144.jpg] при i>0 очень обильны для всех П. а. м. (Xs,xs), где [img: http://localhost:8080/file/041731-145.jpg] ? Для гладких П. а. м. над алгебраически замкнутым полем характеристики 0 ответ на этот вопрос положителен [3], а в случае поверхностей основного типа с канонич. поляризацией константа сне зависит даже от многочлена Гильберта (см. [1], [2]).