Понтрягина двойственность

1) П. д.- двойственность между абелевыми топологич. группами и их характеров группами. Теорема двойственности утверждает, что если G - локально компактная абелева группа и X(G) - ее группа характеров, то естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041732-25.jpg], переводящий [img: http://localhost:8080/file/041732-26.jpg] в характер [img: http://localhost:8080/file/041732-27.jpg], заданный формулой [img: http://localhost:8080/file/041732-28.jpg] есть изоморфизм топологич. групп. Из этой теоремы выводятся следующие утверждения. I. Если Н- замкнутая подгруппа в G и [img: http://localhost:8080/file/041732-29.jpg] - ее аннулятор в X(G), то H совпадает с аннулятором [img: http://localhost:8080/file/041732-30.jpg] подгруппы H*; при этом группа X(H) естественно изоморфна X(G)/H*, а X(G/H) - группе H*. II. Если [img: http://localhost:8080/file/041732-31.jpg] - непрерывный гомоморфизм локально компактных абелевых групп, то после отождествления группы G с X(X(G)) и группы H с X(X(H)).при помощи изоморфизмов [img: http://localhost:8080/file/041732-32.jpg] гомоморфизм (j*)* отождествляется с j. III. Вес группы X(G).(как топологич. пространства) совпадает с весом группы G. П. д. сопоставляет компактным группам Gдискретные группы X(G).и наоборот. При этом компактная группа Gметризуема тогда и только тогда, когда X(G).счетна, и связна тогда и только тогда, когда группа X(G).без кручения. Конечномерность компактной группы Gравносильна тому, что X(G).имеет конечный ранг (см. Ранг, абелевой группы). Конечномерная компактная группа Gлокально связна тогда и только тогда, когда X(G).конечно порождена. Если Gконечна, то П. д. совпадает с двойственностью конечных абелевых групп, рассматриваемой над полем [img: http://localhost:8080/file/041732-33.jpg] комплексных чисел. Топологич. группы, для к-рых верна теорема двойственности, наз. рефлексивными. Они не исчерпываются локально компактными группами, т. к. любое банахово пространство, рассматриваемое как топологич. группа, рефлексивно [8]. О характеризации рефлексивных групп см. [9]. Аналог П. д. известен и для некоммутативных групп (теорема двойственности Танака - К р е и и а) (см. [4], [6], [7]). Пусть G - компактная топологич. группа, R - алгебра комплекснозначных представляющих функций на G, S(R) - множество всех ненулевых гомоморфизмов алгебр [img: http://localhost:8080/file/041732-34.jpg], удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041732-35.jpg]. В S(R).определяется умножение [img: http://localhost:8080/file/041732-36.jpg], удовлетворяющее следующему условию: если [img: http://localhost:8080/file/041732-37.jpg] - неприводимое непрерывное унитарное представление группы G и rij(g) - его матричные элементы, то [img: http://localhost:8080/file/041732-38.jpg] Это умножение и естественная топология превращают S(R).в топологич. группу. Каждому [img: http://localhost:8080/file/041732-39.jpg] отвечает гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041732-40.jpg], задаваемый формулой [img: http://localhost:8080/file/041732-41.jpg] Тогда соответствие g [img: http://localhost:8080/file/041732-42.jpg] ag есть изоморфизм топологич. группы G на S(R). Дано также алгебраич. описание категории алгебр R, к-рая оказывается, таким образом, двойственной категории компактных топологич. групп. Эта теория допускает обобщение на случай однородных пространств компактных топологич. групп (см. [4]).