Понтрягина квадрат

- когомологическая операция [img: http://localhost:8080/file/041732-68.jpg] типа ([img: http://localhost:8080/file/041732-69.jpg]), т. е. отображение [img: http://localhost:8080/file/041732-70.jpg] определенное для любой пары топология, пространств (X, Y).и такое, что для любого непрерывного отображения [img: http://localhost:8080/file/041732-71.jpg] имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041732-72.jpg] (естественность). П. к. обладает следующими свойствами: 1) [img: http://localhost:8080/file/041732-73.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041732-74.jpg] - вложение; 2) [img: http://localhost:8080/file/041732-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041732-77.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041732-78.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041732-75.jpg] - гомоморфизм приведения по mod 2; 3) [img: http://localhost:8080/file/041732-79.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041732-80.jpg] -изоморфизм надстройки, а [img: http://localhost:8080/file/041732-81.jpg] - Постникова квадрат (иными слонами, когомологич. надстройкой над [img: http://localhost:8080/file/041732-82.jpg] является [img: http://localhost:8080/file/041732-83.jpg]). Если [img: http://localhost:8080/file/041732-84.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041732-85.jpg] - представляющие отображения, то [img: http://localhost:8080/file/041732-86.jpg]. Свойства 1), 2) однозначно характеризуют П. к. и потому могут быть приняты за определяющие его аксиомы. Конструктивно П. к. определяется формулой [img: http://localhost:8080/file/041732-87.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041732-88.jpg] - коцикл mod 2* (о Ui -произведениях см. ст. Стинрода квадрат). Существует (см. [5], [6]) обобщение П. к. на случай произвольного нечетного простого р. Это обобщение является когомологич. операцией типа ([img: http://localhost:8080/file/041732-89.jpg], 2 рn) и наз. p-й степенью Понтрягина [img: http://localhost:8080/file/041732-90.jpg]. Для операции [img: http://localhost:8080/file/041732-91.jpg] имеют место формулы (к-рые эту операцию однозначно характеризуют): [img: http://localhost:8080/file/041732-92.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041732-93.jpg] - вложение; [img: http://localhost:8080/file/041732-94.jpg] где - [img: http://localhost:8080/file/041732-95.jpg] гомоморфизм приведения по модулю p, обобщающие соответствующие формулы для [img: http://localhost:8080/file/041732-96.jpg]. Аналог формулы 3) для [img: http://localhost:8080/file/041732-97.jpg] имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041732-98.jpg], означающий, что когомологич. надстройка над [img: http://localhost:8080/file/041732-99.jpg] при p>2 равна нулю. При р>2 имеет место равенство [img: http://localhost:8080/file/041732-100.jpg], в к-ром умножение можно считать как внешним ([img: http://localhost:8080/file/041732-101.jpg] -умножением), так и внутренним ([img: http://localhost:8080/file/041732-102.jpg] -умножением). При р=2 соответствующее равенство имеет место только с точностью до слагаемых порядка 2. Наиболее общим образом П. к. определяется для когомологий над произвольной конечно порожденной абелевой группой p(см. [2], [31). Окончательный вид этого обобщения (см. [6J): П. к. представляет собой кольцевой гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041732-103.jpg] где Г - функтор разделенных степеней алгебры. Если p= [img: http://localhost:8080/file/041732-104.jpg], то р-я компонента этого гомоморфизша совпадает с p- йстепенью Понтрягина [img: http://localhost:8080/file/041732-105.jpg] (при р=2 - с П. к. [img: http://localhost:8080/file/041732-106.jpg]).