Понтрягина пространство

гильбертово пространство с индефинитной метрикой [img: http://localhost:8080/file/041733-1.jpg], имеющей конечный ранг индефинитности [img: http://localhost:8080/file/041733-2.jpg]. Основные факты геометрии П. п. установлены Л. С. Понтрягиным [1]. Помимо фактов, общих для пространств с индефинитной метрикой, имеют место следующие. Если [img: http://localhost:8080/file/041733-3.jpg] - любой неотрицательный линеал в [img: http://localhost:8080/file/041733-4.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041733-5.jpg]; если [img: http://localhost:8080/file/041733-6.jpg] - положительный линеал и [img: http://localhost:8080/file/041733-7.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-8.jpg], то его J-ортогональное дополнение Nявляется отрицательным линеалом и [img: http://localhost:8080/file/041733-9.jpg]. При этом N представляет собой полное пространство по отношению к норме [img: http://localhost:8080/file/041733-10.jpg]. Если линеал [img: http://localhost:8080/file/041733-11.jpg] невырожден, то невырождено его J-ортогональное дополнение Ми [img: http://localhost:8080/file/041733-12.jpg] Спектр (в частности, дискретный спектр) J-унитарного (J-самосопряженного) оператора симметричен относительно единой окружности (действительной оси), все элементарные делители, отвечающие собственным числам l, |l|>1, имеют конечный порядок [img: http://localhost:8080/file/041733-13.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-14.jpg]. Сумма размерностей корневых подпространств J-унитарного (J-самосопряженного) оператора, отвечающих собственным числам l, |l|>1 (Im l>0), не превосходит числа [img: http://localhost:8080/file/041733-15.jpg]. Основой теории J-самосопряженных операторов, действующих в П. и. [img: http://localhost:8080/file/041733-16.jpg], является следующая теорема [1]: у каждого J-самосопряженного оператора [img: http://localhost:8080/file/041733-17.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-18.jpg]) существует [img: http://localhost:8080/file/041733-19.jpg] -мерное (максимальное) неотрицательное инвариантное подпространство [img: http://localhost:8080/file/041733-20.jpg], в к-ром все собственные значения оператора Аимеют неотрицательную мнимую часть, и [img: http://localhost:8080/file/041733-21.jpg] -мерное неотрицательное инвариантное подпространство [img: http://localhost:8080/file/041733-22.jpg], в к-ром все собственные значения имеют неположительную мнимую часть. Аналогичное утверждение с заменой верхней (нижней) полуплоскости на внешность (внутренность) единичного круга справедливо и для J-унитарных операторов, а при нек-рых дополнительных условиях - даже для операторов в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041733-23.jpg]. Если Uесть J-унитарный оператор, то его максимальные инвариантные неотрицательные подпространства [img: http://localhost:8080/file/041733-24.jpg] могут быть выбраны таким образом, чтобы порядки элементарных делителей операторов [img: http://localhost:8080/file/041733-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-26.jpg] были минимальны. Для того чтобы многочлен Р(l), не имеющий корней внутри единичного круга, обладал свойством: [img: http://localhost:8080/file/041733-27.jpg], необходимо и достаточно, чтобы он делился на минимальный аннулирующий многочлен оператора [img: http://localhost:8080/file/041733-28.jpg]. Если оператор U - циклический, то его неотрицательные инвариантные подпространства размерности [img: http://localhost:8080/file/041733-29.jpg] определяются единственным образом. В этом случае указанное свойство многочлена Р, корни {li} к-рого лежат вне единичного круга |li|>1, эквивалентно делимости Р(l) на характеристич. многочлен оператора [img: http://localhost:8080/file/041733-30.jpg]. В П. п. [img: http://localhost:8080/file/041733-31.jpg] у каждого вполне непрерывного J-самосопряженного оператора Атакого, что нуль принадлежит его непрерывному спектру, остаточный спектр отсутствует. Корневые векторы такого оператора образуют базис Рисса в [img: http://localhost:8080/file/041733-32.jpg] по отношению к (дефинитной) норме (|J|x, х). Многие факты об инвариантных подпространствах и спектре обобщаются на случай J-изометрических и J-нерастягивающих операторов. Так, если l1,..., ln - произвольная совокупность собственных значений J-изометрического оператора, [img: http://localhost:8080/file/041733-33.jpg] i, k=l,..., п, и порядок элементарного делителя в точке li, то [img: http://localhost:8080/file/041733-34.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-35.jpg]. Всякий J-нерастягивающий ограниченно обратимый оператор Тобладает [img: http://localhost:8080/file/041733-36.jpg] -мерным инвариантным неотрицательным подпространством [img: http://localhost:8080/file/041733-37.jpg] таким, что все собственные значения сужения [img: http://localhost:8080/file/041733-38.jpg] лежат в единичном круге [2]. Аналогичный факт верен для максимальных J-диссипативных операторов. Вообще J-диссипативный оператор [img: http://localhost:8080/file/041733-39.jpg], имеет не более [img: http://localhost:8080/file/041733-40.jpg] собственных значений в верхней полуплоскости. Между J-изометрическими и J-симметрическими (и, более широко, J-нерастягивающими и J-диссипативными) операторами устанавливается связь с помощью Кали преобразования, к-рое в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041733-41.jpg] обладает всеми естественными свойствами [2]. Это позволяет развивать теорию расширений одновременно для J-изометрических и J-симметрических операторов. В частности, всякий J-изометрический (J-симметрический) оператор может быть расширен до максимального. Если его индексы дефекта не одинаковы, то у него нет J-унитарных (J-самосопряженных) расширений. Если же они одинаковы и конечны, то любое максимальное расширение является J-унитарным (J-самосопряженным). Для вполне непрерывных J-диссипативных операторов в П. п. [img: http://localhost:8080/file/041733-42.jpg] верен также ряд утверждений о полноте системы корневых векторов, аналогичных соответствующим фактам из теории диссипативных операторов в пространствах с дефинитной метрикой.