Поперечник

множества - величина, характеризующая уклонение множества в метрич. пространстве от нек-рой системы объектов (как правило, конечномерных) при определенном методе приближения, а также величина, характеризующая точность восстановления элемента из данного множества при определенном методе кодирования. Наиболее изучены П., характеризующие возможность аппроксимации множества конечномерными компактами и конечномерными линейными многообразиями (поперечники по Александрову и поперечник по Колмогорову). Пусть X - нормированное пространство с единичным шаром В, [img: http://localhost:8080/file/041733-76.jpg] - аппроксимируемое подмножество в [img: http://localhost:8080/file/041733-77.jpg],- нек-рая совокупность аппроксимирующих подмножеств, F(С, А) - нек-рая совокупность отображений [img: http://localhost:8080/file/041733-78.jpg], наконец, [img: http://localhost:8080/file/041733-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041733-80.jpg] - заданная совокупность отображений из аппроксимируемого в аппроксимирующее множества. Число [img: http://localhost:8080/file/041733-81.jpg] (1) характеризует величину уклонения аппроксимируемого множества Сот совокупности аппроксимируемых множеств [img: http://localhost:8080/file/041733-82.jpg] при методе аппроксимации [img: http://localhost:8080/file/041733-83.jpg]. Большинство П., характеризующих аппроксимационные свойства того или иного аппарата приближения, задаются по типу (1). Если [img: http://localhost:8080/file/041733-84.jpg] -совокупность { М N}всех линейных многообразий (т. е. сдвигов линейных подпространств) размерности [img: http://localhost:8080/file/041733-85.jpg], a F(С, М N) - совокупность всех отображений из С в М N, то величина (1), называемая N- поперечником по Колмогорову множества Си обозначаемая обычно dN(C, X), характеризует минимальное уклонение данного множества С от N-мерных линейных многообразий, т. [img: http://localhost:8080/file/041733-86.jpg] (1') Если [img: http://localhost:8080/file/041733-87.jpg] (или= [img: http://localhost:8080/file/041733-88.jpg] - совокупности всех подпространств {LN} размерности [img: http://localhost:8080/file/041733-89.jpg], а F(С, MN)(F(C, LN)) - совокупность всех аффинных (линейных) непрерывных отображений из С в MN(LN), то величина (1), обозначаемая aN (С, Х).lN(С, X)).и называемая аффинным (линейным) N- поперечником, характеризует аппроксимативные возможности аффинных (линейных) N-мерных отображений. Если [img: http://localhost:8080/file/041733-90.jpg] есть совокупность {К N} всех N-мерных компактов (или, равнозначно, всех N-мерных полиэдров), a F(C, KN) - множество всех непрерывных отображений из С в KN, то величина (1), называемая N- пoперечником по Александрову и обозначаемая а N(С, X), характеризует степень аппроксимации множества С N -мерными компактами. Если [img: http://localhost:8080/file/041733-91.jpg] - совокупность {xN} всех N-точечных множеств xN{х 1,..., xN} в X,a F(C,xN) - совокупность всех отображений из С в xN, то П. (1), обозначаемый eN (С, X), характеризует наименьшее уклонение данного Сот N-точечных множеств, т. е. характеризует аппроксимативные возможности N-точечных множеств. Все введенные выше аппроксимативные П. зависят от объемлющего пространства Xи могут изменяться при погружении Сс его метрикой в другое нормированное пространство. Другой тип П. связан с задачами "кодирования" элементов множества Сэлементами другой природы или, как этот процесс еще иначе называют, с задачей восстановления. Пусть С - метрич. пространство, Z={z} - нек-рая совокупность "кодирующих" множеств, j(С, z) - нек-рая совокупность отображений f: С [img: http://localhost:8080/file/041733-92.jpg] z. Наконец, [img: http://localhost:8080/file/041733-93.jpg] - заданная совокупность методов кодирования. Величина [img: http://localhost:8080/file/041733-94.jpg] (2) где через D(Е).обозначен диаметр множества Е, характеризует восстановимость элементов множества Спо информации, "закодированной" элементами множеств z из Zс помощью отображений из Ф. Большинство П., связанных с процессами восстановления, задается по типу (2). Если Ф - совокупность всевозможных отображений из Св Z, состоящего из одного множества (1,..., N}, то П. (2), обозначаемый eN(C), характеризует точность восстановления элемента с помощью таблицы, состоящей из N элементов. Если Слежит в линейном нормированном пространстве Xи Ф - совокупность всех непрерывных аффинных отображений из Xв RN, то величина,, равная р ф (С)/2, где р ф (С).определено в (2). называемая N-поперечником по Гельфанду и обозначаемая dN(C), характеризует точность восстановления элементов но их образам при аффинных отображениях в [img: http://localhost:8080/file/041733-95.jpg]. Для центрально-симметричных множеств величины dN имеется другое равносильное определение: [img: http://localhost:8080/file/041733-96.jpg] (2') где LN- замкнутое подпространство коразмерности N. Пусть Zсостоит из всех N-мерных компактов {KN},j (С, KN) - совокупность всех непрерывных отображений из С в [img: http://localhost:8080/file/041733-97.jpg], тогда (2) называется N-поперечником по Урысону и обозначается uN(C). Другое равносильное и общепринятое определение поперечника Урысона таково: uN(C).есть нижняя грань диаметров покрытий множества Скратности [img: http://localhost:8080/file/041733-98.jpg] N+1. Поперечник по Урысону характеризует степень N-мерности (с точки зрения брауэровской размерности) множества С. Впервые величину, названную впоследствии П., ввел в 1923 П. С. Урысон (см. [2]), когда он определил uN. В 1933 П. С. Александров [3] вскрыл аппроксимативные аспекты теории размерности, что привело его к определению aN. В 1936 А. Н. Колмогоров [1] определил dN - именно этот П. наиболее интенсивно изучался далее в теории приближений. В 1931 Л. С. Понтрягин и Л. Г. Шнирельман (см. [4]) выразили размерность (топологич. характеристику), использовав асимптотическую метрич. характеристику Ne (С).(обратную к поперечнику eN(C)), равную для метрич. пространства Снаименьшему числу элементов 2e-покрытия для множества С. Интерес к подобным величинам возрос в 50-х гг., когда А. Н. Колмогоров [5], базируясь на идеях теории информации, ввел величину Ne (С, X).(обратную к поперечнику eN(С, X)).и сформулировал программу исследований величин типа Ne(C), Ne(C, X).и им подобных как специальный раздел теории приближений, связанный с вопросами наилучшего табулирования функций. Двоичный логарифм величины Ne(C, X).получил название e -энтропии множества С,a log2Ne (С) - абсолютной e-энтропии множества С. Получено множество конкретных результатов, где те или иные П. (названные выше и иные) вычислялись для различных функциональных классов и геометрич. объектов. Такие вычисления можно разделить на две группы - асимптотические и точные. Вот нек-рые результаты, касающиеся асимптотич. вычислений П. соболевских классов. Пусть Wrp - совокупность функций r(.).па конечном отрезке (скажем, на [0, 1]), у к-рых (r-1)-я производная абсолютно непрерывна и для r-й производной выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041733-99.jpg] Доказана следующая асимптотич. формула: [img: http://localhost:8080/file/041733-100.jpg] (3) Из частных случаев верхней строки формулы (3) следует, что асимптотически наилучшим аппроксимирующим пространством является пространство тригонометрич. полиномов или пространство сплайнов с равномерно распределенными узлами. Ожидалось, что всегда имеет место такая асимптотика, т. е. подпространство тригонометрич. полиномов данной степени всегда будет асимптотически экстремальным. Однако оказалось, что это не так (см. [10], [13]). Тригонометрич. полиномы lin {cos nt,sin nt,0 [img: http://localhost:8080/file/041733-101.jpg] n [img: http://localhost:8080/file/041733-102.jpg] N} оказались асимптотически не экстремальными. Однако в ряде случаев "переставленные" гармоники, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041733-103.jpg] Nгармоник, взятых в "неправильном" порядке, все-таки оказались экстремальными. Решение задачи о П. соболевских классов опирается на исследование вопроса о поперечнике n-октаэдров в [img: http://localhost:8080/file/041733-104.jpg]: [img: http://localhost:8080/file/041733-105.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/041733-106.jpg] величина [img: http://localhost:8080/file/041733-107.jpg] определяется точно; при p<q точно вычислена величина [img: http://localhost:8080/file/041733-108.jpg], она оказалась равной [img: http://localhost:8080/file/041733-109.jpg]. Принципиальную роль при вычислении колмогоровских П. соболевских классов играют следующие оценки (см. [13]): A) [img: http://localhost:8080/file/041733-110.jpg]; Б) [img: http://localhost:8080/file/041733-111.jpg] где А - постоянная; B) если [img: http://localhost:8080/file/041733-112.jpg], то при [img: http://localhost:8080/file/041733-113.jpg] имеет место неравенство [img: http://localhost:8080/file/041733-114.jpg] Рассмотрен вопрос и об асимптотич. поведении александровских П. соболевских классов. Оказалось, что [img: http://localhost:8080/file/041733-115.jpg] Решить вопрос о точном вычислении П.- это найти экстремальный для данного класса аппарат приближения. Первый результат этого рода принадлежит А. Н. Колмогорову [1], к-рый решил задачу о вычислении поперечника [img: http://localhost:8080/file/041733-116.jpg] и аналогичную задачу для периодич. класса [img: http://localhost:8080/file/041733-117.jpg] в метрике L2([-p, p]). Для вычисления точного значения поперечника [img: http://localhost:8080/file/041733-118.jpg] впервые привлечены (см. [7]) топологич. методы (теорема о поперечнике шара, сводящаяся к теореме Борсука об антиподах). Эта теорема была обобщена (см. [12]) и применена к нахождению других точных решений. Впоследствии обнаружились интересные связи с вариационным исчислением и оптимальным управлением (см. [9]). О поперечниках eN, eN и обратных к ним величинах Ne(C).и Ne(C, X).см. e -энтропия. Вопросы о П. имеют тесное соприкосновение с разнообразными задачами геометрии. Напр., задача об асимптотике величины [img: http://localhost:8080/file/041733-119.jpg] тесно связана с задачей о наилучшем замощении пространства [img: http://localhost:8080/file/041733-120.jpg] сферами. Зависимость асимптотических П. от объемлющего пространства привела к идее введения абсолютных П.- величин [img: http://localhost:8080/file/041733-121.jpg] где нижняя грань берется по всем вложениям С с его метрикой в объемлющее пространство X. При этом оказывается (см. [9]), напр., что [img: http://localhost:8080/file/041733-122.jpg]