Последования отображение

для гладкого или хотя бы непрерывного потока {St} и трансверсальной к нему гиперповерхности V - отображение Т, сопоставляющее точке [img: http://localhost:8080/file/041734-125.jpg] первую по времени точку пересечения с Vисходящей из vположительной полутраектории потока (и определенное для тех v, для к-рых такое пересечение имеется). (Гиперповерхность Vназ. при этом сечением, секущей поверхностью, трансверсалью.) Когда размерность dim V=l (так что {St} - поток на плоскости или двумерной поверхности; в этом случае Vназ. также дугой без контакта) и Vпараметризована числовым параметром s, то смещение точек Vпод действием П. о. описывается нек-рой числовой функцией f одного переменного (если vотвечает значению параметра s, то Tv - значению параметра s+f(s)), к-рая наз. функцией последования. Впервые П. о. использовал А. Пуанкаре (Н. Poincare, [1]), поэтому иногда П. о. наз. отображением Пуанкаре. Если любая полутраектория пересекает V, то П. о. (определенное в данном случае на всем V).в значительной степени определяет поведение всех траекторий потока. Однако такие "глобальные" сечения существуют далеко не всегда (в частности, у гамильтоновой системы на многообразии постоянной энергии, не проходящем через критич. точки гамильтониана, т. е. равнове сия положения, нет заткнутых - как многообразия - глобальных сечений; см. [3] гл. VIII, п. 4.7). Для неавтономной системы с периодической правой частью [img: http://localhost:8080/file/041734-126.jpg] (*) возникает аналог П. о.: точке хсопоставляют точку Tx=j(t, х), где j (t, x) - решение системы (*) с начальным значением j(0, х)=х. Это "отображение сдвига на период" можно даже формально рассматривать как П. о., если (*) рассматривать как автономную систему в "цилиндрическом" фазовом пространстве. Отображение Топределено всюду, если решения системы (*) определены при всех t. Чаще приходится иметь дело с "локальным" сечением - его пересекает только часть траекторий и нередко только часть пересекающих его траекторий вновь возвращается на V. Примером может служить маленькая гладкая "площадка" коразмерности один, трансверсально пересекающая нек-рую замкнутую траекторию L. В этом случае П. о. определено вблизи [img: http://localhost:8080/file/041734-127.jpg] и характеризует поведение траекторий вблизи L. В теории слоений также вводится П. о. (см. [2]), являющееся обобщением предыдущего примера (и охватывающее также П. о. для обыкновенных дифференциальных уравнений в комплексной области).