Последовательных приближений метод

метод повторных подстановок, метод простой итерации,- один из общих методов приближенного решения операторных уравнений. Во многих случаях хорошая сходимость построенных этим методом приближений позволяет применять его в практике вычислений. Пусть Е - нек-рое множество, на к-ром задан оператор А, отображающий Ев себя. Требуется найти неподвижную точку этого отображения, т. е. решение уравнения [img: http://localhost:8080/file/041735-49.jpg] (1) Пусть уравнение (1) имеет решение [img: http://localhost:8080/file/041735-50.jpg] и каким-либо способом указано его начальное приближение [img: http://localhost:8080/file/041735-51.jpg]. Все остальные приближения в П. п. м. строятся но формуле [img: http://localhost:8080/file/041735-52.jpg] (2) Этот процесс наз. простой одношаговой итерацией. Для исследования сходимости последовательности (2), а также для доказательства существования решения уравнения (1) широко применяется ниже сформулированный принц и ц сжимающих отображений. Пусть Е- полное метрич. пространство с метрикой r; оператор Аопределен в замкнутом шаре Sрадиуса d с центром в х 0: [img: http://localhost:8080/file/041735-53.jpg] для всяких элементов хи уиз шара Sверно соотношение [img: http://localhost:8080/file/041735-54.jpg] для начального приближения х 0 выполнено неравенство [img: http://localhost:8080/file/041735-55.jpg], для чисел a, d, тсоблюдается условие [img: http://localhost:8080/file/041735-56.jpg] Тогда: 1) последовательные приближения х n, вычисляемые по правилу (2), могут быть найдены при всяком значении п, и все они принадлежат шару S;2) последовательность х п сходится к нек-рой точке [img: http://localhost:8080/file/041735-57.jpg]; 3) предельный элемент х * есть решение уравнения (1); 4) для приближения х n верна следующая оценка близости к решению х *: [img: http://localhost:8080/file/041735-58.jpg] Далее, во всяком подмножестве пространства Е, где для двух любых точек х, у верно неравенство r(Ах, Ау)<r(х, у), уравнение (1) не может иметь более одного решения. Пусть E=Rn - арифметическое re-мерное пространство и оператор Ав (1) имеет вид Ах=Вх+b, где В= = ||aik||- квадратная матрица га-ro порядка, b=(b1,..., b п).заданный, а х=(x1,..., х п) - искомый векторы в [img: http://localhost:8080/file/041735-59.jpg]. Если в этом пространстве метрика определена формулой [img: http://localhost:8080/file/041735-60.jpg] и элементы матрицы Вудовлетворяют условию [img: http://localhost:8080/file/041735-61.jpg] для всех i, i=1,..., n, то из принципа сжимающих отображений следует, что система алгебраич. уравнений х=Ах имеет единственное решение в Rn, к-рое можно получить П. п. м., исходя из произвольного начального приближения [img: http://localhost:8080/file/041735-62.jpg] Если в [img: http://localhost:8080/file/041735-63.jpg] действует евклидова метрика [img: http://localhost:8080/file/041735-64.jpg] тогда получается другое условие сходимости последовательных приближений: [img: http://localhost:8080/file/041735-65.jpg] Пусть (1) - интегральное уравнение, в к-ром [img: http://localhost:8080/file/041735-66.jpg] где известные функции f, Кинтегрируемы с квадратом соответственно на множествах [img: http://localhost:8080/file/041735-67.jpg], К - числовой параметр. Тогда из принципа сжимающих отображений следует, что если [img: http://localhost:8080/file/041735-68.jpg] то рассматриваемое интегральное уравнение имеет единственное решение в пространстве L2([a, b]), к-рое можно построить П. п. м.