Потенциала теория

- в первоначальном понимании - учение о свойствах сил, действующих по закону всемирного тяготения. В формулировке этого закона, данной И. Ньютоном (I. Newton, 1687), речь идет только о силах взаимного притяжения, действующих на две материальные частицы малых размеров, или материальные точки, прямо пропорциональные произведению масс этих частиц и обратно пропорциональные квадрату расстояния между частицами. Поэтому первой и важнейшей с точки зрения небесной механики и геодезии задачей было изучение сил притяжения материальной точки ограниченным гладким материальным телом- сфероидом и, в частности, эллипсоидом (ибо многие небесные тела имеют именно эту форму). После первых частных достижений И. Ньютона и др. ученых основное значение здесь имели работы Ж. Лагранжа (J. Lagrange, 1773), А. Лежандра (A. Legendre, 1784-94) и П. Лапласа (P. Laplace, 1782-99). Ж. Лагранж установил, что поле сил тяготения, как говорят теперь,- потенциальное, и ввел функцию, к-рую позже Дж. Грин (G. Green, 1828) назвал потенциальной, а К. Гаусс (С. Gauss, 1840) - просто потенциалом. Ныне достижения этого первоначального периода обычно входят в курсы классич. небесной механики (см. также [2]). Еще К. Гаусс и его современники обнаружили, что потенциалов метод применим не только для решения задач теории тяготения, но и вообще для решения широкого круга задач математич. физики, в частности электростатики и магнетизма. В связи с этим стали рассматриваться потенциалы не только физически реальных в вопросах взаимного притяжения положительных масс, но и "масс" произвольного знака, или зарядов. В П. т. определились основные краевые задачи такие, как Дирихле задача и Неймана задача, электростатич. задача о статич. распределении нарядов на проводниках, или Робена задача, задача о выметании масс (см. Выметания метод). Для решения указанных задач в случае областей с достаточно гладкой границей оказались эффективным средством специальные разновидности потенциалов, т. е. специальные виды интегралов, зависящих от параметров, такие, как потенциал объемно распределенных масс, потенциалы простого и двойного слоя, логарифмич. потенциалы, потенциалы Грива и др. Основную роль в создании строгих методов решения основных краевых задач сыграли работы А. М. Ляпунова и В. А. Стеклова кон. 19 в. Изучение свойств потенциалов различных видов приобрело в П. т. и самостоятельное значение. Мощный стимул в направлении обобщения основных задач и законченности формулировок П. т. получила начиная с 1-й пол. 20 в. на основе использования общих понятий меры в смысле Радона, емкости и обобщенных функций. Современная П. т. тесно связана в своем развитии с теорией аналитич. ций, гармонич. функций, субгармонич. функций и теорией вероятностей. Наряду с дальнейшим углубленным изучением классических краевых задач и обратных задач (см. Потенциала теории обратные задачи).для современного периода развития П. т. характерно применение методов и понятий современной топологии и функционального анализа, применение абстрактных аксиоматич. методов (см. Потенциала теория абстрактная). Основные типы потенциалов и их свойства. Пусть S - гладкая замкнутая поверхность, то есть (п-1)-мерное гладкое многообразие без края, в n-мерном евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041736-47.jpg], ограничивающая конечную область G=G+, дG=S, и пусть G-= [img: http://localhost:8080/file/041736-48.jpg] - внешняя бесконечная область. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041736-49.jpg] - главное фундаментальное решение уравнения Лапласа [img: http://localhost:8080/file/041736-50.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041736-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041736-52.jpg] - расстояние между точками x=(x1,..., х п).и y=(y1,..., y п). в [img: http://localhost:8080/file/041736-53.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041736-54.jpg] - площадь единичной сферы в [img: http://localhost:8080/file/041736-55.jpg], Г - гамма-функция. Три интеграла, зависящих от хкак от параметра: [img: http://localhost:8080/file/041736-56.jpg] (1) где n у - направление внешней относительно G+ нормали к Sв точке [img: http://localhost:8080/file/041736-57.jpg], наз. соответственно объемным потенциалом, потенциалом простого слоя и потенциалом двойного слоя. Функции r(у),m(y).и v(y).наз. плотностями соответствующих потенциалов; ниже они будут предполагаться абсолютно интегрируемыми соответственно на Gили S. При n=3 (а иногда и при п [img: http://localhost:8080/file/041736-58.jpg] 3) интегралы (1) наз. ньютоновым объемным потенциалом, ньютоновыми потенциалами простого и двойного слоя, при n=2 - логарифмическими потенциалами масс, простого и двойного слоя. Пусть r принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/041736-59.jpg]. Тогда объемный потенциал и его производные 1-го порядка непрерывны всюду в [img: http://localhost:8080/file/041736-60.jpg], причем их можно вычислить посредством дифференцирования под знаком интеграла, то есть [img: http://localhost:8080/file/041736-61.jpg]. Далее, [img: http://localhost:8080/file/041736-62.jpg] Производные 2-го порядка непрерывны всюду вне S, но при переходе через поверхность Sони претерпевают разрыв, причем в области G+ удовлетворяется уравнение Пуассона - [img: http://localhost:8080/file/041736-63.jpg], а в G-- уравнение Лапласа [img: http://localhost:8080/file/041736-64.jpg]. Перечисленные свойства характеризуют объемный потенциал. Если G, - конечная область пространства R" с границей S1=дG1 класса С 1, то справедлива формула Гаусса для объемного потенциала: [img: http://localhost:8080/file/041736-65.jpg] Пусть [img: http://localhost:8080/file/041736-66.jpg]. Потенциал простого слоя V(х).есть гармонич. функция при [img: http://localhost:8080/file/041736-67.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041736-68.jpg] в частности, [img: http://localhost:8080/file/041736-69.jpg] при n [img: http://localhost:8080/file/041736-70.jpg] 3, но [img: http://localhost:8080/file/041736-71.jpg] при n=2 тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041736-72.jpg] Потенциал простого слоя непрерывен всюду в [img: http://localhost:8080/file/041736-73.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041736-74.jpg], причем V(х).и его касательные производные непрерывны при переходе через поверхность S. Нормальная производная потенциала простого слоя при переходе через поверхность Sиспытывает скачок: [img: http://localhost:8080/file/041736-75.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041736-76.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041736-77.jpg] - предельные значения нормальной производной соответственно из G+ и G-, то есть [img: http://localhost:8080/file/041736-78.jpg] Через дV(x)/дnx здесь обозначено т. н. прямое значение нормальной производной потенциала простого слоя, вычисленное на поверхности S, то есть [img: http://localhost:8080/file/041736-79.jpg] к-рое является непрерывной функцией точки [img: http://localhost:8080/file/041736-80.jpg], а ядро дЕ(х, у)/дп х имеет слабую особенность на S, [img: http://localhost:8080/file/041736-81.jpg] Перечисленные свойства характеризуют потенциал простого слоя. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041736-82.jpg]. Потенциал двойного слоя W(x).есть гармонич. функция при [img: http://localhost:8080/file/041736-83.jpg], причем [img: http://localhost:8080/file/041736-84.jpg] При переходе через поверхность Sпотенциал двойного слоя испытывает скачок: [img: http://localhost:8080/file/041736-85.jpg] где W+ (х).и W- (х) - предельные значения потенциала двойного слоя соответственно из G+ и G-, то есть [img: http://localhost:8080/file/041736-86.jpg] Через W(х).при [img: http://localhost:8080/file/041736-87.jpg] обозначено т. н. прямое значение потенциала двойного слоя, вычисленное на поверхности S, то есть [img: http://localhost:8080/file/041736-88.jpg] к-рое является непрерывной функцией точки [img: http://localhost:8080/file/041736-89.jpg], а ядро дЕ(х, у)/дп у имеет слабую особенность на S. [img: http://localhost:8080/file/041736-90.jpg] Касательные производные потенциала двойного слоя также испытывают скачок при переходе через поверхность S, но нормальная производная дW(x)/dnx сохраняет свое значение при переходе через S: [img: http://localhost:8080/file/041736-91.jpg] Перечисленные свойства характеризуют потенциал двойного слоя. В случае постоянной плотности v=1 имеет место формула Гаусса для потенциала двойного слоя: [img: http://localhost:8080/file/041736-92.jpg] Интеграл в левой части этого равенства интерпретируется как (деленный на wn(п-2)) телесный угол, под к-рым видна поверхность Sиз точки х. Ниже дополнительно приводятся нек-рые свойства потенциалов при меньших ограничениях на плотности и поверхность S. Если [img: http://localhost:8080/file/041736-93.jpg], то Z(x) - гармонич. функция при [img: http://localhost:8080/file/041736-94.jpg] и Z(x).суммируема в G+. Если r [img: http://localhost:8080/file/041736-95.jpg] Lp(G), 1 [img: http://localhost:8080/file/041736-96.jpg] p [img: http://localhost:8080/file/041736-97.jpg] n/2, то Z [img: http://localhost:8080/file/041736-98.jpg] Lq([img: http://localhost:8080/file/041736-99.jpg]), l/p+l/q=l, 1<q<np/(n-2p);если r [img: http://localhost:8080/file/041736-100.jpg] Lp(G), p>n/2, тоZ [img: http://localhost:8080/file/041736-101.jpg] C(Rn). Если r [img: http://localhost:8080/file/041736-102.jpg] Lp(G), 1 [img: http://localhost:8080/file/041736-103.jpg] р [img: http://localhost:8080/file/041736-104.jpg] n, то Z [img: http://localhost:8080/file/041736-105.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041736-106.jpg]), 1<q<np/(n-р);если r [img: http://localhost:8080/file/041736-107.jpg] Lp(G), p>n, то Z [img: http://localhost:8080/file/041736-108.jpg] G1([img: http://localhost:8080/file/041736-109.jpg]). Если r [img: http://localhost:8080/file/041736-110.jpg] L2(G), то существуют обобщенные производные 2-го порядка от Z(х), они также принадлежат классу L2(G).и выражаются с помощью сингулярных интегралов: [img: http://localhost:8080/file/041736-111.jpg] где dij=1 при i=j, dij = 0 при [img: http://localhost:8080/file/041736-112.jpg]; если r [img: http://localhost:8080/file/041736-113.jpg] Lp(G), 1<р< [img: http://localhost:8080/file/041736-114.jpg], то все обобщенные производные д 2Z/dxidxj также существуют и принадлежат [img: http://localhost:8080/file/041736-115.jpg]. Если р [img: http://localhost:8080/file/041736-116.jpg] Lp(G), [img: http://localhost:8080/file/041736-117.jpg], то Z(x).есть обобщенное решение уравнения Пуассона -DZ=r(х), [img: http://localhost:8080/file/041736-118.jpg]. Если r [img: http://localhost:8080/file/041736-119.jpg] С (1,a)(G) и S [img: http://localhost:8080/file/041736-120.jpg] С (0,a), 0<a<1, то Z [img: http://localhost:8080/file/041736-121.jpg] С (2,a) в G+ или G-. Если r [img: http://localhost:8080/file/041736-122.jpg] С (l,a)(G) и S [img: http://localhost:8080/file/041736-123.jpg] С (k+1,a), 0<a<1, l, k- целые, [img: http://localhost:8080/file/041736-124.jpg], то Z [img: http://localhost:8080/file/041736-125.jpg] С(l+2,a)(G+). Пусть [img: http://localhost:8080/file/041736-126.jpg] - замкнутая конечная область такая, что [img: http://localhost:8080/file/041736-127.jpg]. Тогда если [img: http://localhost:8080/file/041736-128.jpg], дV/dxi [img: http://localhost:8080/file/041736-129.jpg] Lp(D),p=l, 2; i=l, 2,..., n. Если плотность m ограниченная и суммируемая, то [img: http://localhost:8080/file/041736-130.jpg] Если [img: http://localhost:8080/file/041736-131.jpg] в G+ или G-. Если [img: http://localhost:8080/file/041736-132.jpg] в G + или G-. Если [img: http://localhost:8080/file/041736-133.jpg] - целые, [img: http://localhost:8080/file/041736-134.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041736-135.jpg] в G+ или G-. Если v [img: http://localhost:8080/file/041736-136.jpg] C(l,a)(S) и S [img: http://localhost:8080/file/041736-137.jpg] C(k+1,a), 0<a<1, l, k - целые, [img: http://localhost:8080/file/041736-138.jpg], то W [img: http://localhost:8080/file/041736-139.jpg] C(l,a) в G+ или G-. Для доопределенных по непрерывности потенциалов и их производных на поверхности Sописанные выше свойства гладкости также остаются в силе при соответствующих условиях гладкости на плотность и поверхность S. Представление функций и решение основных краевых задач теории потенциала с помощью потенциалов. Пусть Ф (х) - функция класса [img: http://localhost:8080/file/041736-140.jpg] - гладкая поверхность класса С 2. Тогда справедливо интегральное тождество (формула Грина): [img: http://localhost:8080/file/041736-141.jpg] (2) В частности, в области G функция Ф(х).представима в виде суммы объемного потенциала и потенциалов простого и двойного слоя соответственно с плотностями [img: http://localhost:8080/file/041736-142.jpg] Для гармонической в области Gфункции и(х).класса [img: http://localhost:8080/file/041736-143.jpg] имеет место тождество [img: http://localhost:8080/file/041736-144.jpg], (3) и поэтому такая функция и(х).представима в G в виде суммы потенциалов простого и двойного слоя соответственно с плотностями m(у)=ди (у)/дп у, v (у)=-и (у). Однако эти плотности в формуле (3) не могут задаваться произвольно на S, они связаны интегральным соотношением, получающимся из (3) при [img: http://localhost:8080/file/041736-145.jpg]. Центральное место в П. т. занимают краевые задачи Дирихле и Неймана (наз. также первой и второй краевыми задачами) для областей G+ (внутренние задачи) и G- (внешние задачи), к-рые в предположении достаточной гладкости поверхности удается полностью исследовать сведением их к интегральным уравнениям П. т. Внутренняя задача Дирихле: найти гармоническую в G+ функцию и(х).класса [img: http://localhost:8080/file/041736-146.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041736-147.jpg], удовлетворяющую краевому условию u(x).j+(x), [img: http://localhost:8080/file/041736-148.jpg], где j+ (х) - данная непрерывная функция на S. Решение этой задачи всегда существует, единственно и может быть найдено в виде потенциала двойного слоя [img: http://localhost:8080/file/041736-149.jpg] с плотностью v, к-рая находится как единственное решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/041736-150.jpg] Внутренняя задача Неймана: найти гармоническую в области G+ функцию и(х).класса [img: http://localhost:8080/file/041736-151.jpg], удовлетворяющую краевому условию [img: http://localhost:8080/file/041736-152.jpg], где y+ (х) - данная непрерывная функция на S. Решение этой задачи существует тогда и только тогда, когда функция y+(x). удовлетворяет условию ортогональности [img: http://localhost:8080/file/041736-153.jpg] (4) Это решение определяется с точностью до произвольной аддитивной постоянной Св виде u(x)=V (х)+С, где [img: http://localhost:8080/file/041736-154.jpg] - потенциал простого слоя, плотность m к-рого определяется из интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/041736-155.jpg] (5) Соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение m0(x)> а неоднородное уравнение (5) разрешимо при выполнении условия (4), причем его общее решение имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041736-156.jpg], где с - произвольная постоянная. Внешняя задача Дирихле: найти гармоническую в области [img: http://localhost:8080/file/041736-157.jpg], функцию u(х).класса [img: http://localhost:8080/file/041736-158.jpg], удовлетворяющую краевому условию [img: http://localhost:8080/file/041736-159.jpg], где j-(x) - данная непрерывная функция на S;при этом и(х).предполагается регулярной на бесконечности, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041736-160.jpg] Решение этой задачи всегда существует, единственно и может быть найдено в виде [img: http://localhost:8080/file/041736-161.jpg] где А - постоянная, [img: http://localhost:8080/file/041736-162.jpg] - потенциал двойного слоя, плотность v к-рого является решением интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/041736-163.jpg] (6) Соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение [img: http://localhost:8080/file/041736-164.jpg]. При надлежащем выборе постоянной Арешение неоднородного уравнения (6) имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041736-165.jpg] где С - произвольная постоянная, a v-(y) - частное решение ур-ния (6). Постоянная Аподбирается в виде [img: http://localhost:8080/file/041736-166.jpg] где плотность v0 должна удовлетворять условию [img: http://localhost:8080/file/041736-167.jpg] (7) Эта плотность v0 есть нетривиальное решение уравнения (5) внутренней задачи Неймана с данными y + (х)=0, [img: http://localhost:8080/file/041736-168.jpg], удовлетворяющее эквивалентному (7) при [img: http://localhost:8080/file/041736-169.jpg] условию нормировки [img: http://localhost:8080/file/041736-170.jpg] Потенциал простого слоя V0(x).плотности v0(x) наз. равновесным потенциалом, или потенциалом Робена. Плотность v0(x) дает решение задачи Робена или электростатич. задачи о распределении зарядов на проводнике S, создающем равновесный потенциал, постоянный в области G+. Нек-рая сложность решения внешней задачи Дирихле происходит из-за того, что регулярная на бесконечности гармонич. функция и(х), вообще говоря, убывает при [img: http://localhost:8080/file/041736-171.jpg] медленнее, чем потенциал двойного слоя, и поэтому u(x) в общем случае нельзя представить в виде одного только потенциала двойного слоя. Внешняя задача Неймана: найти гармоническую в области [img: http://localhost:8080/file/041736-172.jpg], функцию и(x) класса [img: http://localhost:8080/file/041736-173.jpg], удовлетворяющую краевому условию [img: http://localhost:8080/file/041736-174.jpg], где y- (х) - данная непрерывная функция на S;при этом и(х).предполагается регулярной на бесконечности. При [img: http://localhost:8080/file/041736-175.jpg] решение этой задачи всегда существует и единственно; при п=2 решение существует тогда и только тогда, когда выполняется условие [img: http://localhost:8080/file/041736-176.jpg] (8) причем решение определено лишь с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Решение внешней задачи Неймана представимо в виде потенциала простого слоя [img: http://localhost:8080/file/041737-1.jpg] плотность m к-poro есть решение интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода [img: http://localhost:8080/file/041737-2.jpg] (9) При [img: http://localhost:8080/file/041737-3.jpg] решение этого уравнения всегда существует и единственно. При n=2 соответствующее однородное уравнение имеет нетривиальное решение m0(x), поэтому неоднородное уравнение (9) при выполнении условия разрешимости (8) имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/041737-4.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/041737-5.jpg] а его общее решение имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041737-6.jpg], где с- произвольная постоянная. Решение краевых задач П. т. может быть получено также с помощью Грина функции. Напр., для (внутренней) задачи Дирихле функция Грина имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041737-7.jpg] где g(x, у) - гармонич. функция в G+ и непрерывная в [img: http://localhost:8080/file/041737-8.jpg] но x, для каждого [img: http://localhost:8080/file/041737-9.jpg] удовлетворяющая краевому условию [img: http://localhost:8080/file/041737-10.jpg]. Решение (внутренней) задачи Дирихле и(х).класса [img: http://localhost:8080/file/041737-11.jpg] для уравнения Пуассона [img: http://localhost:8080/file/041737-12.jpg], с краевым условием [img: http://localhost:8080/file/041737-13.jpg], представимо в виде [img: http://localhost:8080/file/041737-14.jpg] Зависящие от параметра хинтегралы [img: http://localhost:8080/file/041737-15.jpg] наз. соответственно объемным потенциалом Грина (задачи Дирихле), потенциалом Грина двойного слоя. Их свойства аналогичны свойствам потенциалов (1). С помощью функции Грина к интегральным уравнениям сводятся задачи на собственные значения. Напр., задача Дирихле [img: http://localhost:8080/file/041737-16.jpg], с краевым условием [img: http://localhost:8080/file/041737-17.jpg], сводится к интегральному уравнению Фредгольма 2-го рода с самосопряженным ядром [img: http://localhost:8080/file/041737-18.jpg] Дальнейшее обобщение некоторых основных понятий теории потенциала. Параллельно с углубленным изучением свойств потенциалов (1), определяемых плотностями более пли менее общего вида, и их применений само понятие потенциала подверглось начиная примерно с 20-х гг. 20 в. глубокому обобщению, связанному с понятием меры и интеграла Радона. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041737-19.jpg] - положительная борелевская мера на пространстве [img: http://localhost:8080/file/041737-20.jpg] с компактным носителем supp l. Потенциал меры [img: http://localhost:8080/file/041737-21.jpg] (10) существует всюду в Rn в смысле отображения [img: http://localhost:8080/file/041737-22.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041737-23.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041737-24.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041737-25.jpg] при n=2 (т. е. здесь допускается и значение [img: http://localhost:8080/file/041737-26.jpg]) и является супергармонической функцией всюду в [img: http://localhost:8080/file/041737-27.jpg], гармонической - вне носителя меры supp l. Для меры l. произвольного знака с компактным носителем потенциал El определяется, исходя из канонич. разложения l [img: http://localhost:8080/file/041737-28.jpg], в виде [img: http://localhost:8080/file/041737-29.jpg]. В тех точках [img: http://localhost:8080/file/041737-30.jpg], где оба потенциала Еl+ (х). и Еl- (х). принимают значение [img: http://localhost:8080/file/041737-31.jpg], этот потенциал не определен. Если мера [img: http://localhost:8080/file/041737-32.jpg] сосредоточена на гладкой поверхности S, то аналогично (10) определяется и потенциал двойного слоя меры l: [img: http://localhost:8080/file/041737-33.jpg] Потенциал (10) конечен, [img: http://localhost:8080/file/041737-34.jpg], всюду в [img: http://localhost:8080/file/041737-35.jpg], за исключением точек полярного множества, к-рое характеризуется как множество внешней емкости нуль. Если Еl(х)=0 всюду, кроме множества внешней емкости нуль, то l=0. Если мера [img: http://localhost:8080/file/041737-36.jpg] сосредоточена на множестве емкости нуль, то sup [img: http://localhost:8080/file/041737-37.jpg]. Справедлив следующий принцип максимума: [img: http://localhost:8080/file/041737-38.jpg] т. е. верхняя грань Еl(х).есть верхняя грань сужения Еlна supp l. Если это сужение непрерывно (в обобщенном смысле, включая значение [img: http://localhost:8080/file/041737-39.jpg]) в точке х 0 [img: http://localhost:8080/file/041737-40.jpg] supp l, то потенциал Еl(х).непрерывен в точке х 0 в [img: http://localhost:8080/file/041737-41.jpg]. Потенциалы мер Еlсводятся к потенциалам плотностей (1) тогда и только тогда, когда мера l абсолютно непрерывна по мере Лебега соответственно на Gили на S(см. [3]-[6]). Если Т - обобщенная функция, или распределение, в [img: http://localhost:8080/file/041737-42.jpg], то потенциал распределения определяется как свертка Е*Т, являющаяся также обобщенной функцией. Напр., если Т - финитная обобщенная функция, то в [img: http://localhost:8080/file/041737-43.jpg] в смысле обобщенных функций справедливо уравнение Пуассона [img: http://localhost:8080/file/041737-44.jpg] Потенциалы мер можно рассматривать как частный случай потенциалов распределений. О потенциалах распределений см. [3], [4], [9]. Для областей [img: http://localhost:8080/file/041737-45.jpg] с достаточно гладкой границей Sметод потенциалов дает эффективное решение задачи Дирихле. Одно из основных направлений развития П. т. состоит в открытии методов доказательства существования и единственности решения задачи Дирихле для все более широких классов областей (см. Выметания метод, Дирихле принцип, Перрона метод, Шварца альтернирующий метод). Однако в 1910 С. Заремба (S. Zaremba) заметил, что для плоской области Gпри наличии изолированных точек границы дG=S задача Дирихле в приведенной выше классич. постановке не всегда разрешима; более того, в 1912 А. Лебег (Н. Lebesgue) показал, что она не всегда разрешима и для пространственных областей, гомеоморфных шару, при наличии достаточно острого входящего в область острия границы (т. н. острие Лебега, см. Иррегулярная граничная точка), т. е. существуют такие непрерывные функции [img: http://localhost:8080/file/041737-46.jpg], для к-рых задача Дирихле не разрешима никаким способом. Поэтому важное значение имеет полученное в ходе развития метода Перрона обобщенное решение в смысле Перрона - Винера задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Как показал Н. Винер (N. Wiener, 1924), при этом любая конечная непрерывная функция j=j+, заданная на границе S=дG произвольной конечной области [img: http://localhost:8080/file/041737-47.jpg], разрешима, т. е. для нее существует и притом единственное обобщенное решение Hj (х).в смысле Перрона - Винера. Вообще, в 1939 М. Брело (М. Brelot) показал, что конечная измеримая функция j на Sразрешима тогда и только тогда, когда j интегрируема по гармонической мере на S. Обобщенное решение Hj (х).не во всех граничных точках принимает заданные значения j. Точка [img: http://localhost:8080/file/041737-48.jpg] наз. регулярной, если для любой конечной непрерывной функции j на Sобобщенное решение Hj (х). црини-мает значение j(x0), то есть [img: http://localhost:8080/file/041737-49.jpg] Прочие точки [img: http://localhost:8080/file/041737-50.jpg] наз. иррегулярными, к ним относятся изолированные точки границы при [img: http://localhost:8080/file/041737-51.jpg] и острие Лебега при [img: http://localhost:8080/file/041737-52.jpg]. Как оказалось (Келлога - Эванса теорема,1933), множество иррегулярных точек имеет внешнюю емкость нуль, т. е. является в нек-ром смысле разреженным. Множество регулярных точек плотно на S. Для задачи Дирихле строится соответственно и обобщенная функция Грина G, к-рую можно определить, напр., для произвольно фиксированной точки [img: http://localhost:8080/file/041737-53.jpg] следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041737-54.jpg] Обобщенная функция Грина сохраняет нек-рые свойства классич. функции Грина, напр. свойство симметрии [img: http://localhost:8080/file/041737-55.jpg], тогда и только тогда, когда x0 - регулярная точка границы S(см. [4], [6]). Важное значение имеют также исследования задачи Дирихле для компактов и устойчивости задачи Дирихле (см. [6], [4]). Интенсивно развивается изучение потенциалов с другими ядрами, отличными от ядра Е(х, у), и их применений для решения краевых задач (см. Бесселев потенциал. Нелинейный потенциал, Рисса потенциал, а также [3], [11]).