Потенциала теория абстрактная

- теория потенциала на абстрактных топология, пространствах. П. т. а. возникла в сер. 20 в. из стремления охватить единым аксиоматич. методом широкое многообразие свойств различных потенциалов, применяемых при решении разнообразных задач теории дифференциальных уравнений с частными производными. Первое достаточно полное изложение аксиоматики "гармонических" функций (т. е. решений допустимого класса уравнений с частными производными) и соответствующих потенциалов было дано М. Брело (1957-58, см. [1]), но оно охватывало только уравнения эллиптич. типа. Расширение теории, пригодное и для широкого класса уравнений параболич. типа, получено X. Бауэром (1960-63, см. [3]). Весьма плодотворным оказался вероятностный подход к П. т. а., начало к-ромубыло положено еще в работах П. Леви (P. Levy), Дж. Дуба (J. Doob), Г. Ханта (G. Hunt) и др. Для изложения П. т. а. удобно понятие гармонического пространства. Пусть X- локально компактное топологич. пространство. Пучком функций на Xназ. отображение [img: http://localhost:8080/file/041737-56.jpg], определенное на семействе всех открытых множеств Xи такое, что 1) [img: http://localhost:8080/file/041737-57.jpg] (U).для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-58.jpg] есть семейство функций [img: http://localhost:8080/file/041737-59.jpg]; 2) если открытые множества U, V таковы, что U [img: http://localhost:8080/file/041737-60.jpg] V [img: http://localhost:8080/file/041737-61.jpg] X, то сужение любой функции из [img: http://localhost:8080/file/041737-62.jpg] (F) на Uпринадлежит [img: http://localhost:8080/file/041737-63.jpg] (U). 3) если для любого семейства [img: http://localhost:8080/file/041737-64.jpg], открытых множеств [img: http://localhost:8080/file/041737-65.jpg] сужения нек-рой определенной на [img: http://localhost:8080/file/041737-66.jpg] функции ина Ui для всех [img: http://localhost:8080/file/041737-67.jpg] принадлежат [img: http://localhost:8080/file/041737-68.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041737-69.jpg]. Пучок функций [img: http://localhost:8080/file/041737-70.jpg] на Xназ. гармоническим пучком, если для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-71.jpg] семейство [img: http://localhost:8080/file/041737-72.jpg] есть действительное векторное пространство непрерывных функций на U. Функция u, определенная на нок-ром множестве [img: http://localhost:8080/file/041737-73.jpg], содержащем открытое множество U, наз. [img: http://localhost:8080/file/041737-74.jpg] -функцией, если сужение u|U принадлежит [img: http://localhost:8080/file/041737-75.jpg] (U). Гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-76.jpg] невырожден в точке [img: http://localhost:8080/file/041737-77.jpg], если в окрестности x существует [img: http://localhost:8080/file/041737-78.jpg] -функция итакая, что [img: http://localhost:8080/file/041737-79.jpg] Реальные различия в аксиоматиках Бауэра, Брело, Дуба характеризуются свойствами сходимости [img: http://localhost:8080/file/041737-80.jpg] функций. а) Свойство сходимости Бауэра состоит в том, что если возрастающая последовательность [img: http://localhost:8080/file/041737-81.jpg] -функций локально ограничена на нек-ром открытом множестве [img: http://localhost:8080/file/041737-82.jpg], то предельная функция vесть [img: http://localhost:8080/file/041737-83.jpg] функция. б) Свойство сходимости Дуба состоит в том, что если предельная функция vконечна на плотном множестве в X, то vесть [img: http://localhost:8080/file/041737-84.jpg] -функция. в) Свойство сходимости Брело состоит в том, что если предельная функция vвозрастающей последовательности [img: http://localhost:8080/file/041737-85.jpg] -функций на нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/041737-86.jpg] конечна в точке [img: http://localhost:8080/file/041737-87.jpg], то vесть [img: http://localhost:8080/file/041737-88.jpg] -функция. Если пространство Xлокально связно, то имеют место импликации в) [img: http://localhost:8080/file/041737-89.jpg] б) [img: http://localhost:8080/file/041737-90.jpg] а). Пучок функций [img: http://localhost:8080/file/041737-91.jpg] на Xназ. гипергармоническим пучком, если для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-92.jpg] семейство [img: http://localhost:8080/file/041737-93.jpg] есть выпуклый конус полунепрерывных снизу функций [img: http://localhost:8080/file/041737-94.jpg]; [img: http://localhost:8080/file/041737-95.jpg] -функция определяется аналогично [img: http://localhost:8080/file/041737-96.jpg] -функции. Отображение [img: http://localhost:8080/file/041737-97.jpg] есть гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-98.jpg], порожденный пучком [img: http://localhost:8080/file/041737-99.jpg]; только этот гармонич. пучок будет использоваться в дальнейшем. Пусть на границе дU открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-100.jpg] дана непрерывная функция [img: http://localhost:8080/file/041737-101.jpg] с компактным носителем. Гипергармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-102.jpg] позволяет построить Перрона методом обобщенное решение задачи Дирихле для нек-рых открытых множеств в классе соответствующих [img: http://localhost:8080/file/041737-103.jpg] -функций. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041737-104.jpg] - семейство полунепрерывных снизу [img: http://localhost:8080/file/041737-105.jpg] -функций и, ограниченных снизу на U, положительных вне нек-рого компакта и таких, что [img: http://localhost:8080/file/041737-106.jpg] можно положить [img: http://localhost:8080/file/041737-107.jpg]. Пусть теперь [img: http://localhost:8080/file/041737-108.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041737-109.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041737-110.jpg]. Аналогично, [img: http://localhost:8080/file/041737-111.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041737-112.jpg]. Функция наз. разрешимой, если для нее [img: http://localhost:8080/file/041737-113.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041737-114.jpg] совпадают, [img: http://localhost:8080/file/041737-115.jpg], Hj является [img: http://localhost:8080/file/041737-116.jpg] -функцией; эта функция Н j. и есть обобщенное решение задачи Дирихле в классе [img: http://localhost:8080/file/041737-117.jpg] -функций. Открытое множество [img: http://localhost:8080/file/041737-118.jpg] разрешимо относительно [img: http://localhost:8080/file/041737-119.jpg], если разрешима любая конечная непрерывная функция с контактным носителем на дU. Для разрешимого множества Uотображение [img: http://localhost:8080/file/041737-120.jpg] есть положительный линейный функционал, к-рый, следовательно, определяет положительную меру [img: http://localhost:8080/file/041737-121.jpg], наз. гарионической мерой на дU в точке х(относительно [img: http://localhost:8080/file/041737-122.jpg]). Локально компактное пространство X с гипергармонич. пучком [img: http://localhost:8080/file/041737-123.jpg] превращается в гармоническое пространство, если для него выполняются соответствующие четыре аксиомы (см. Гармоническое пространство), причем в аксиоме сходимости имеется в виду свойство Бауэра. Часто (в классич. примерах именно так и обстоит дело) за основу берется гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-124.jpg], а аксиома мажоранты служит тогда определением гипергармонич. пучка. Напр., евклидово пространство [img: http://localhost:8080/file/041737-125.jpg], с пучком классич. решений уравнения Лапласа или уравнения теплопроводности в качестве [img: http://localhost:8080/file/041737-126.jpg] является гармонич. пространством. Гармонич. пространство локально связно, не содержит изолированных точек и имеет базис из связных разрешимых множеств (разрешимых областей). Открытое множество Uгармонич. пространства Xс сужением [img: http://localhost:8080/file/041737-127.jpg] |U в качестве гипергармонич. пучка есть гармоническое пространство X. Гипергармонич. функция ина [img: http://localhost:8080/file/041737-128.jpg] наз. супергармонической функцией, если для любого относительно компактного разрешимого множества V, [img: http://localhost:8080/file/041737-129.jpg], наибольшая миноранта mV и является гармонической, [img: http://localhost:8080/file/041737-130.jpg]. Многие свойства классических супергармонич. функций (см. Субгармоническая функция).выполняются и здесь. Потенциалом наз. такая положительная супергармонич. функция и, для к-рой наибольшая гармонич. миноранта mV и на Xтождественно равна нулю. Гармонич. пространство Xназ. [img: http://localhost:8080/file/041737-131.jpg] -гармоническим (или [img: http://localhost:8080/file/041737-132.jpg] -гармоническим) пространством, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041737-133.jpg] существует положительная супергармонич. функция и(соответственно потенциал и).на Xтакая, что u(x)>0. Любое открытое множество [img: http://localhost:8080/file/041737-134.jpg] -гармонического пространства разрешимо. Принимая за основу гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-135.jpg] и определяя соответствующий гипергармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-136.jpg] с помощью аксиомы мажоранты, получают пространство Бауэра, совпадающее с гармонич. пространством для [img: http://localhost:8080/file/041737-137.jpg]. Если гармонич. пучок [img: http://localhost:8080/file/041737-138.jpg] для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-139.jpg] состоит из решений hуравнения теплопроводности [img: http://localhost:8080/file/041737-140.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041737-141.jpg] обладает свойством сходимости Дуба и [img: http://localhost:8080/file/041737-142.jpg] с этим пучком [img: http://localhost:8080/file/041737-143.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/041737-144.jpg] -пространство (Бауэра). При этом v - гипергармонич. функция класса С 2 тогда и только тогда, если Dv- дv/дt [img: http://localhost:8080/file/041737-145.jpg] 0. Пространство Брело характеризуется следующими условиями: Xне имеет изолированных точек и локально связно; регулярные множества относительно [img: http://localhost:8080/file/041737-146.jpg] образуют базу X(регулярность - это разрешимость классич. задачи Дирихле в классе [img: http://localhost:8080/file/041737-147.jpg]); [img: http://localhost:8080/file/041737-148.jpg] обладает свойством сходимости Брело. Пространства Брело составляют собственный подкласс т. н. эллиптических гармонич. пространств (см. [4]), т. е. эллиптич. пространств Бауэра. Если гармонич. пучок Ж для любого открытого множества [img: http://localhost:8080/file/041737-149.jpg], состоит из решений иуравнения Лапласа Du=0, то [img: http://localhost:8080/file/041737-150.jpg] с этим лучком есть [img: http://localhost:8080/file/041737-151.jpg] -пространство Брело, а [img: http://localhost:8080/file/041737-152.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041737-153.jpg] есть [img: http://localhost:8080/file/041737-154.jpg] -пространство Брело. При этом v - гипергармонич. функция класса С 2 тогда и только тогда, если Dv [img: http://localhost:8080/file/041737-155.jpg] 0. Точка уграницы дU разрешимого множества Uгармонич. пространства наз. регулярной граничной точкой, если для любой конечной непрерывной функции ф на дU имеет место предел [img: http://localhost:8080/file/041737-156.jpg] а в противном случае уназ. иррегулярной граничной точкой. Пусть F - фильтр на U, сходящийся к y. Барьером фильтра Fназ. строго положительная гипергармонич. функция v, определенная на пересечении Uс нек-рой окрестностью уи сходящаяся к 0 вдоль F. Если для относительно компактного разрешимого множества U [img: http://localhost:8080/file/041737-157.jpg] -гармонического пространства все фильтры, сходящиеся к точкам [img: http://localhost:8080/file/041737-158.jpg], имеют барьер, то U - регулярное множество, т. е. все его граничные точки регулярные. Если U - относительно компактное открытое множество [img: http://localhost:8080/file/041737-159.jpg] -гармонического пространства, на к-ром существует строго положительная гипергармонич. функция, сходящаяся к 0 в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041737-160.jpg], то V - регулярное множество. Кроме изучения разрешимости и регулярности в задаче Дирихле, к основной проблематике П. т. а. относятся: теория емкости точечных множеств на гармонич. пространствах Х;теория выметания (см. Выметания метод).функций и мер на X;теория интегральных представлений положительных супергармонич. функций на X, обобщающая представления Мартина (см. Мартина граница). Уже в нач. 20 в. была замечена тесная связь теории потенциала с нек-рыми вопросами теории вероятностей, такими, как броуновского движения процесс, винеровский процесс, марковский процесс. Напр., вероятность того, что траектория броуновского движения в плоской области [img: http://localhost:8080/file/041737-161.jpg], исходящая из точки [img: http://localhost:8080/file/041737-162.jpg], встретит в первый раз границу дG на (борелевском) множестве [img: http://localhost:8080/file/041737-163.jpg], есть не что иное, как гармоническая мера множества Ев точке х 0 полярные множества границы дG суть при этом те множества, к-рые траектории не встречают почти наверное. В дальнейшем вероятностные методы способствовали более глубокому пониманию нек-рых идей теории потенциала и привели к ряду новых результатов; с другой стороны, теоретико-потенциальный подход уменьшает отчужденность теории вероятностей и также приводит в ней к новым результатам. Пусть X - локально компактное пространство со счетной базой, Ck и С 0- классы конечных непрерывных функций на Xсоответственно с компактным носителем и стремящихся к 0 на бесконечности. Ядро-мера N(х, Е) [img: http://localhost:8080/file/041737-164.jpg] 0 есть (борелевская) функция от [img: http://localhost:8080/file/041737-165.jpg] для каждого относительно компактного (борелевского) множества [img: http://localhost:8080/file/041737-166.jpg]. С помощью Nкаждой функции [img: http://localhost:8080/file/041737-167.jpg], ставится в соответствие потенциал-функция а [img: http://localhost:8080/file/041737-168.jpg] а мере [img: http://localhost:8080/file/041737-169.jpg] соответствует потенциал-мера [img: http://localhost:8080/file/041737-170.jpg] Единичное ядро I (х, Е).равно 0 при [img: http://localhost:8080/file/041737-171.jpg] и равно 1 при [img: http://localhost:8080/file/041737-172.jpg], оно не изменяет f(х).и q(E). Напр., в евклидовом пространстве [img: http://localhost:8080/file/041737-173.jpg] ядро [img: http://localhost:8080/file/041737-174.jpg] определяет ньютонов потенциал Nf с плотностью f, а qNесть мера с плотностью, равной ньютонову потенциалу меры q (см. Потенциала теория). Ядро-произведение имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041737-175.jpg] Семейство ядер [img: http://localhost:8080/file/041737-176.jpg], с законом композиции Nt+s=NtNs является однопараметрич. полугруппой. Ядро Nудовлетворяет полному принципу максимума, если для любых f, g [img: http://localhost:8080/file/041737-177.jpg] 0 из С k, и a>0 выполнение неравенства Nf [img: http://localhost:8080/file/041737-178.jpg] Ng+a на множестве, где f>0, влечет за собой выполнение этого неравенства всюду на X. Основная в этой теории теорема Ханта в простейшей форме состоит в том, что если образ С k при отображении Nплотен в С 0 и N удовлетворяет полному принципу максимума, то существует полугруппа {Pt}, [img: http://localhost:8080/file/041737-179.jpg], такая, что [img: http://localhost:8080/file/041737-180.jpg] (феллеровская полугруппа); при этом Pt отображает Ck в С 0, Р 0- единичное ядро, [img: http://localhost:8080/file/041737-181.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041737-182.jpg], локально равномерно и [img: http://localhost:8080/file/041737-183.jpg]. Функция [img: http://localhost:8080/file/041737-184.jpg] наз. эксцессивной функцией относительно полугруппы {Pt}, если всегда [img: http://localhost:8080/file/041737-185.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041737-186.jpg] =f; если Ptf=f, то f паз. инвариантной функцией. Соответствующие построения имеют место и для потенциала-меры qN. Очерченная теория Г. Ханта (1957-58) имеет непосредственный вероятностный смысл. Пусть на Xзадана век-рая s-алгебра борелевских множеств [img: http://localhost:8080/file/041737-187.jpg] и вероятностная мера Р. Случайная величина S=S(x) - это [img: http://localhost:8080/file/041737-188.jpg] -измеримое отображение X в пространство состояний [img: http://localhost:8080/file/041737-189.jpg] Семейство случайных величин {St}, [img: http://localhost:8080/file/041737-190.jpg],- это случайный марковский процесс, для к-рого St(x) - траектория точки [img: http://localhost:8080/file/041737-191.jpg], если для каждого у, [img: http://localhost:8080/file/041737-192.jpg], существует вероятностная мера Рy на [img: http://localhost:8080/file/041737-193.jpg] такая, что [img: http://localhost:8080/file/041737-194.jpg] - борелевская функция от у;3) вид траектории, проходящей через ув момент r, при [img: http://localhost:8080/file/041737-195.jpg] не зависит от положения предыдущих ее точек. Применительно к таким марковским процессам полугруппы {Pt} интерпретируются как полугруппы мер [img: http://localhost:8080/file/041737-196.jpg] Важное значение имеет изучение эксцессивных и инвариантных функций относительно полугрупп {Pt}. С другой стороны, если Xесть [img: http://localhost:8080/file/041737-197.jpg] -гармоническое пространство со счетной базой, то на нем всегда можно выбрать ядро потенциалов так, чтобы удовлетворялись условия теоремы Ханта, и эксцессивные функции соответствующей полугруппы будут тогда в точности неотрицательными гипергармонич. функциями. Теорема Ханта обобщается и для нек-рых типов пространств Бауэра (см. [4], [7]). И другие понятия П. т. а., такие, напр., как выметание, полярные и тонкие множества, также получают вероятностную интерпретацию в рамках общей теории случайных процессов, облегчающую их исследование. С другой стороны, для теории вероятностей оказалась важной теоретико-потенциальная трактовка ряда понятий, таких, напр., как мартингалы, выходящих за рамки марковских процессов.