Потенциалов метод

- метод исследования краевых задач для уравнений математич. физики путем сведения их к интегральным уравнениям, основанный на представлении решений этих задач в виде (обобщенных) потенциалов. Пусть в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041737-198.jpg], задано дифференциальное уравнение с частными производными 2-го порядка эллиптич. типа [img: http://localhost:8080/file/041737-199.jpg] с достаточно гладкими коэффициентами а ij=а ji=aij(x). ei=ei(x), c(x) [img: http://localhost:8080/file/041737-200.jpg] 0 и правой частью f(x), причем с(x)<-k2<0 вне нек-рой ограниченной области, содержащей внутри область Dкласса C1. Тогда любое решение и(х).уравнения (1) класса [img: http://localhost:8080/file/041737-201.jpg] можно представить в виде суммы трех (обобщенных) потенциалов: потенциала объемных масс [img: http://localhost:8080/file/041737-202.jpg] (2) потенциала простого слоя [img: http://localhost:8080/file/041737-203.jpg] (3) и потенциала двойного слоя [img: http://localhost:8080/file/041737-204.jpg] (4) где S=дD - граница области D, Е(х, у) - главное фундаментальное решение оператора L, символ Qy обозначает оператор [img: http://localhost:8080/file/041737-205.jpg] действующий в точке [img: http://localhost:8080/file/041737-206.jpg], N - единичный вектор конормали в точке [img: http://localhost:8080/file/041737-207.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041737-208.jpg] v - единичный вектор внешней нормали к Sв точке [img: http://localhost:8080/file/041737-209.jpg]. Плотности потенциалов r(y), s(у).и m(у) - достаточно гладкие функции на Dили S. Для потенциалов (2) - (4) остаются в силе, с соответствующими изменениями, все дифференциальные и граничные свойства гармонич. потенциалов, описанные в ст. Потенциала теория для случая, когда L - оператор Лапласа. На основании этих свойств удается свести краевые задачи для эллиптич. уравнений типа (1) к интегральным уравнениям, аналогично тому, как это было описано для задач Дирихле и Неймана для гармонич. функций в ст. Потенциала теория.