Почти симплектическая структура

невырожденная дифференциальная 2-форма на многообразии. П. с. с. W может существовать только па четномерном многообразии М(dim M=2m).и определяет [img: http://localhost:8080/file/041738-120.jpg] -структуру [img: http://localhost:8080/file/041738-121.jpg], а именно главное расслоение реперов на Мсо структурной группой [img: http://localhost:8080/file/041738-122.jpg], состоящее из всех реперов r={ei, fi, i=1,..., т}, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041738-123.jpg] Необходимое и достаточное условие существования на многообразии МП. с. с. (так же, как и почти комплексной структуры) состоит в возможности редукции структурной группы касательного расслоения к унитарной группе U(т). Для этого, в частности, необходимо обращение в нуль всех нечетномерных классов Штифеля - Уитни многообразия М(см. [1]). Почти комплексная структура J и риманова метрика gна многообразии Мопределяют П. с. с. Wпо формуле [img: http://localhost:8080/file/041738-124.jpg] где X, Y - векторы, и любая П. с. с. может быть получена таким образом. П. с. с. W наз. интегрируе-мой или, иначе, симплектической структурой, если в окрестности любой точки в нек-рых локальных координатах х i, у i, i=1,..., т, она приводится к виду [img: http://localhost:8080/file/041738-125.jpg]. Согласно теореме Дарбу для этого необходимо и достаточно, чтобы форма W. была замкнута. Пример интегрируемой П. с. с. - каноническая симплектич. структура [img: http://localhost:8080/file/041738-126.jpg] на кокасательном расслоении Т*М произвольного многообразия М(здесь qi - локальные координаты многообразия М, pi - соответствующие координаты в слое). Примером неинтегрируемой П. с. с. является левоинвариантная 2-форма на полупростой группе Ли G, получающаяся разнесением левыми сдвигами произвольной невырожденной внешней 2-формы на соответствующей группе Gалгебре Ли. Так же, как и риманова метрика, П. с. с. определяет изоморфизм касательных и кокасательных пространств (а тем самым и пространств контравариантных и ковариантных тензоров), а также каноническую 2m-форму объема [img: http://localhost:8080/file/041738-127.jpg] и ряд операторов в пространстве L(М). дифференциальных форм: оператор eW внешнего умножения на W; оператор iW. внутреннего умножения на W; оператор звездочки Ходжа [img: http://localhost:8080/file/041738-128.jpg], где оператор iw внутреннего умножения определяется как свертка данной формы с р-вектором, соответствующим р-форме w; оператор кодифференцирования [img: http://localhost:8080/file/041738-129.jpg] В отличие от риманова случая оператор [img: http://localhost:8080/file/041738-130.jpg] оказывается кососимметрич. относительно глобального скалярного произведения [img: http://localhost:8080/file/041739-1.jpg] в пространстве р -форм на компактном многообразии М. Для произвольной р-формы имеет место разложение Ходжа - Лепажа [img: http://localhost:8080/file/041739-2.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041739-3.jpg] - однозначно определенные эффективные (т. е. аннулируемые оператором tW) формы [3]. П. с. с. наз. конформно плоской, если существует такая функция l>0, что d(lW)=0. Это эквивалентно представимости формы W в виде: [img: http://localhost:8080/file/041739-4.jpg] При т=2 необходимым и достаточным условием того, чтобы П. с. с. W была конформно плоской, является замкнутость 1-формы dW=iWdW, а при m>2 - выполнение равенства [img: http://localhost:8080/file/041739-5.jpg] (см. [1]). Тензор Ттипа (1, 2), соответствующий 3-форме dWи определяемый равенством [img: http://localhost:8080/file/041739-6.jpg], где X, Y, Z - векторы, наз. тензором кручения П. с. с. W. С ним ассоциируется, вообще говоря, вырожденная метрика [img: http://localhost:8080/file/041739-7.jpg]. С произвольной П. с. с. связывается класс линейных связностей [img: http://localhost:8080/file/041739-8.jpg], аннулирующих форму W и имеющих тензор Тсвоим тензором кручения. Две такие связности отличаются на тензорное поле вида [img: http://localhost:8080/file/041739-9.jpg], где Sjkl - произвольное симметрическое тензорное поле. Рассматриваемые связности взаимно однозначно соответствуют сечениям первого продолжения [img: http://localhost:8080/file/041739-10.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041739-11.jpg] -структуры В= [img: http://localhost:8080/file/041739-12.jpg], являющегося главным расслоением реперов на Всо структурной группой [img: http://localhost:8080/file/041739-13.jpg] (векторной группой однородных полиномов третьей степени от 2т переменных). [img: http://localhost:8080/file/041739-14.jpg] -структура является G-структурой бесконечного типа. Поэтому группа автоморфизмов П. с. с. может быть бесконечномерной. В частности, группа автоморфизмов симплектич. структуры всегда бесконечномерна и является k-транзитивнои группой для любого k>0.