Предельное множество

C(f, z0; S).функции f(x): G [img: http://localhost:8080/file/041740-160.jpg] Q, определенной в области [img: http://localhost:8080/file/041740-161.jpg] со значениями на сфере Римана W, в точке [img: http://localhost:8080/file/041740-162.jpg] по множеству [img: http://localhost:8080/file/041740-163.jpg], - множество значений [img: http://localhost:8080/file/041740-164.jpg], для к-рых существуют такие последовательности точек [img: http://localhost:8080/file/041740-165.jpg], n=1, 2,...; [img: http://localhost:8080/file/041740-166.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041740-167.jpg] Каждое значение [img: http://localhost:8080/file/041740-168.jpg] наз. предельным значением функции f в точке z0 по множеству S. Теория П. м.- это раздел теории функций, в котором граничные свойства функций изучаются в терминах топологических и метрических свойств различных П. м. Если в качестве множества S взята вся область G, то получается полное предельное множество С(f, z0; G)=C(f,z0); в случаях строгого включения [img: http://localhost:8080/file/041740-169.jpg] соответствующие П. м. C(f, z0; S).иногда наз. частными. Полное П. м. C(f, z0) всегда замкнуто; если функция f непрерывна на множестве S, локально связном в точке [img: http://localhost:8080/file/041740-170.jpg], то П. м. С(f, z0; S).либо вырожденное, т. е. состоит из одной точки, либо является невырожденным континуумом. Если П. м. С(f, z0; S).совпадает с W, то оно наз. тотальным П. м. Значение [img: http://localhost:8080/file/041740-171.jpg] принадлежит множеству повторяющихся значений R(f, z0; S).функции f в точке z0 по множеству S, если существует такая последовательность точек [img: http://localhost:8080/file/041740-172.jpg], n=1, 2,..., [img: http://localhost:8080/file/041740-173.jpg], что a=f(zn), n=1, 2,.... Всегда [img: http://localhost:8080/file/041740-174.jpg]. Еслл для нек-рого а [img: http://localhost:8080/file/041740-175.jpg] Q в области G существует путь L: z=z(t),0 [img: http://localhost:8080/file/041740-176.jpg] t<1, оканчивающийся в точке [img: http://localhost:8080/file/041740-177.jpg] и такой, что [img: http://localhost:8080/file/041740-178.jpg], то а наз. асимптотическим значением функции f в точке z0 (вдоль пути L). Асимптотическое множество A(f, z0; G) - это совокупность всех асимптотич. значений f в точке z0. Понятие П. м. было впервые явно сформулировано П. Пенлеве в 1895 (под названием "область неопределенности", см. [1]) в связи с изучением поведения аналитич. ции вблизи ее особой точки и классификацией особенностей таких функций. С тех пор в теории П. м. изучаются в основном три геометрически простейших случая: а) z0 - изолированная точка границы FrG или внутренняя точка G; б) G=D={|z|<1} - единичный круг или, вообще, нек-рая жорданова область, а z0 - точка границы Г=FrD; в) граница E=FrG есть всюду разрывный компакт на плоскости (т. е. вполне несвязный компакт, не содержащий никакого невырожденного континуума) и [img: http://localhost:8080/file/041740-179.jpg]. Ряд классич. результатов. теории аналитич. ций допускает формулировку в терминах П. м. Напр., Сохоцкого теорема в несколько усиленной форме: если z0 - изолированная точка всюду разрывного компакта [img: http://localhost:8080/file/041740-180.jpg] и f(z) - меромбрфная функция на GE, то П. м. C(f, z0; GE).либо вырожденное, либо тотальное. Дополнительно к этому Пикара теорема утверждает, что в случае, когда C(f,z0; GE).тотально, т. е. когда z0 - существенно особая точка, множество CR(f, z0; GE).WR(f, z0; GE).содержит не более двух различных значений. В этом же случае [img: http://localhost:8080/file/041740-181.jpg] (Иверсена теорема). Основной из результатов, касающийся теории поведения мероморфных функций вблизи "тощей" границы (теории Пенлеве), состоит в следующем (см. [1], [2]): если множество Е [img: http://localhost:8080/file/041740-182.jpg] Gимеет линейную хаусдорфову меру нуль, m(E)=m1 (E)=0, и функция f мероморфна в GE, то в каждой точке z0 [img: http://localhost:8080/file/041740-183.jpg] EП. м. C(f, z0; GE).либо вырожденное, либо тотальное; более того, в первом случае f мероморфна и в точке z0. Таким образом, точка z0 [img: http://localhost:8080/file/041740-184.jpg] Е, в к-рой П. м. C(f, z0; GE).вырожденное, является устранимой особой точкой функции f; изучение устранимых множеств различных классов функций можно рассматривать как раздел теории П. м. Важным усилением теоремы Пикара является теорема Голубев а: если [img: http://localhost:8080/file/041740-185.jpg] и f мероморфна в GE, то в любой существенно особой точке [img: http://localhost:8080/file/041740-186.jpg] множество CR(f, z0; GE).имеет аналитическую емкость нуль (и, следовательно, плоскую меру m2(СR)=0). Началом теории П. м. в случае непрерывной границы можно считать работу П. Фату (P. Fatou, 1906) о граничных значениях функций f(z), голоморфных в единичном круге D={|z|<1}Х Если такая функция f ограничена в D, то почти всюду (в смысле меры Лебега) на окружности Г={|z|=1} она имеет радиальные и угловые граничные значения (теорема Фату). Для произвольной точки [img: http://localhost:8080/file/041740-187.jpg] пусть h(z,j) обозначает хорду круга D, оканчивающуюся в z и образующую с радиусом, проведенным в эту точку, угол раствора j, -p/2<j<p,/2. И пусть D(z, j1, j2) - угловая область с вершиной [img: http://localhost:8080/file/041740-188.jpg], состоящая из всех точек круга D, заключенных между двумя хордами h(z, j1:) и h(z, j2), - p/2 <j1 < j2 < p/2. Точку [img: http://localhost:8080/file/041740-189.jpg] наз. точкой Фату и относят к множеству F(f), если объединение [img: http://localhost:8080/file/041740-190.jpg] по всем угловым областям Д(E, ф 1(ф 2) состоит из единственного значения [img: http://localhost:8080/file/041740-191.jpg], наз. угловым граничным значением функции / в точке E. Иная формулировка теоремы Фату состоит в том, что для ограниченной голоморфной в круге Dфункции / справедливо разложение [img: http://localhost:8080/file/041740-192.jpg]. Результат дополняется теоремой единственности Ф. и М. Р и с с о в (1916): если / голоморфна и ограничена в круге В и на нек-ром множестве [img: http://localhost:8080/file/041740-193.jpg], mes М>0, имеет угловое граничное значение j(Q=a, [img: http://localhost:8080/file/041740-194.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041740-195.jpg]. Это утверждение было независимо доказано Н. Н. Лузиным и И. И. Приваловым (1919), к-рые существенно распространили его также на случай произвольных мероморфных функций. В том же году Н. Н. Лузин и И. И. Привалов опубликовали граничную теорему единственно с-т и для случая радиальных граничных значений: если голоморфная в Dфункция / на множестве Мвторой категории и метрически плотном на нек-рой дуге [img: http://localhost:8080/file/041740-196.jpg] имеет одно и то же радиальное граничное значение [img: http://localhost:8080/file/041740-197.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041740-198.jpg], то /(z)=a. В 1936 И. И. Привалов отметил, что утверждение /(z)=const остается в силе и в том случае, когда значения [img: http://localhost:8080/file/041740-199.jpg] не обязательно одинаковы в точках [img: http://localhost:8080/file/041740-200.jpg], но принадлежат нек-рому множеству (логарифмической) емкости нуль. Основная идея и элементы доказательства теорем Лузина - Привалова применимы и в общем случае непрерывных отображений f круга D, что и было позднее использовано во многих работах. Точку z [img: http://localhost:8080/file/041740-201.jpg] Г= {|z| = 1} наз. точкой Плеснера и относят к множеству I(f), если пересечение [img: http://localhost:8080/file/041740-202.jpg] но всем угловым областям D(z, j1, j2) с вершиной z совпадает с W. В 1927 А. И. Плеснер доказал, что для любой мероморфной в круге Dфункции f почти все точки окружности Г принадлежат либо F(f), либо I(f), то есть [img: http://localhost:8080/file/041740-203.jpg], mes E=0. Точку [img: http://localhost:8080/file/041740-204.jpg] наз. точкой Мейера и относят к множеству M(f), если C(f,z; D) [img: http://localhost:8080/file/041740-205.jpg] W и пересечение хордальных П. м. [img: http://localhost:8080/file/041740-206.jpg] по всем хордам, проведенным в точку z, совпадает с С(f,z; D). К. Мейер (К. Meier, 1961) установил следующий аналог теоремы Плеснера в терминах категории по Бэру: если f мероморфна в D, то все точки окружности Г, за возможным исключением множества Епервой категории, принадлежат объединению [img: http://localhost:8080/file/041740-207.jpg]. Получено уточнение теоремы Мейера, согласно к-рому Еесть множество первой категории и типа Fs (см. [12] - [14], где получены усиления теорем Плеснера и Мейера, а также даны обращение теоремы Мейера и характеризация множества M(f)). Работа П. Фату послужила первоначальным толчком к развитию фундаментальных исследований граничных свойств аналитич. ций. Исследования Ф. и М. Риссов, Н. Н. Лузина, И. И. Привалова, Р. Неванлинны (R. Nevanlinna), А. И. Плеснера, В. И. Смирнова и др. проводились независимо от идей П. Пенлеве, и для них характерно использование методов, связанных с теорией меры и теорией интегрирования, с понятием категории по Бэру (см. [4] - [9]). Основным объектом исследований Ф. Иверсена (F. Iversen) и В. Гросса (W. Gross) были также мероморфные функции f в области Dс жордановой границей Г=Fr D. В произвольной точке [img: http://localhost:8080/file/041740-208.jpg] граничное предельное множество С(f,z0; Г) определяется следующим образом: если М r обозначает замыкание объединения [img: http://localhost:8080/file/041740-209.jpg] по всем точкам [img: http://localhost:8080/file/041740-210.jpg] то [img: http://localhost:8080/file/041740-211.jpg]. Одна из основных теорем, полученных независимо Ф. Иверсеном и В. Гроссом, утверждает, что при указанных условиях в каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041740-212.jpg] множество Ci(f,z0; D) = C(f,z0; D)C(f,z0; Г) открыто и все значения [img: http://localhost:8080/file/041740-213.jpg], за возможными двумя исключениями, принадлежат множеству повторяющихся значений R(f,z0; D);кроме того, каждое исключительное значение (если таковые существуют) является асимптотич. значением функции f в точке z0. Исследования Ф. Иверсена и В. Гросса получили свое дальнейшее развитие в работах А. Бёрлинга (A. Beurling), В. Зайделя (W. Seidel, он и ввел термин "П. м." в 1932) и др. (см. [5] - [9]). Рассматривались в основном случаи, когда z0 принадлежит нек-рому "малому" множеству Еточек границы Г нулевой линейной меры или нулевой емкости, и изучалось П. м. С(f,z0; ГЕ), определяемое аналогично множеству C(f,z; Г). В этих исследованиях использовались и методы теории потенциала. Новейшие результаты в этом направлении сформулированы ниже для случая круга D={|z|<l}. Пусть фиксировано множество Ена дуге g границы Г= {|z| =1}, mes E=0, [img: http://localhost:8080/file/041740-214.jpg]. Каждой точке [img: http://localhost:8080/file/041740-215.jpg] отнесем жорданову дугу [img: http://localhost:8080/file/041740-216.jpg], оканчивающуюся в z. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041740-217.jpg] -замыкание объединения [img: http://localhost:8080/file/041740-218.jpg] по всем точкам [img: http://localhost:8080/file/041740-219.jpg] и пусть [img: http://localhost:8080/file/041740-220.jpg] Тогда множество S(z0) = C(f,z; D)C*(f,z; ГE) открыто, множество S(z0)R(f,z; D)имеет емкость нуль, а каждое значение [img: http://localhost:8080/file/041740-221.jpg] является асимптотическим значением функции f либо в точке z0, либо в каждой точке нек-рой последовательности [img: http://localhost:8080/file/041740-222.jpg]. Если емкость Еравна нулю, то для каждой связной компоненты Sk(z0), k=1, 2,..., множества S(z0) множество Sk(z0)R(f,z0; D)состоит самое большее из двух различных значений. С помощью нормальных семейств была доказана теорема Линделёфа: если голоморфная функция f ограничена в круге Dи имеет асимптотич. значение ав точке [img: http://localhost:8080/file/041740-223.jpg], то она имеет в этой же точке значение айв качестве углового граничного значения. Нормальность семейства F={f(z)}мероморфных функций f(z) в области Gможно характеризовать в терминах т. н. сферической производной [img: http://localhost:8080/file/041740-224.jpg] Именно, семейство Fнормально тогда и только тогда, когда сферич. производные [img: http://localhost:8080/file/041740-225.jpg], равномерно ограничены внутри G, т. е. для любого компакта [img: http://localhost:8080/file/041740-226.jpg] можно указать такую постоянную С=С (К), что [img: http://localhost:8080/file/041740-227.jpg] Однако наиболее важный вклад нормальных семейств в теорию П. м. формулируется при помощи понятия нормальной функции. Мероморфная в односвязной области Gфункция f(z) наз. нормальной функцией в G, если нормально семейство {f(S(z))}, где Sпробегает семейство всех конформных автоморфизмов области G; f(z).нормальна в многосвязной области G, если она нормальна на универсальной накрывающей поверхности G. Мероморфная функция f(z) в круге D={|z|<1} нормальна тогда и только тогда, когда существует константа [img: http://localhost:8080/file/041740-228.jpg], такая, что [img: http://localhost:8080/file/041740-229.jpg] Здесь левая часть есть элемент длины в т. н. хордальной метрике на сфере Римана W для отображения w=f(z), а стоящее в правой части выражение ds(z)=|dz|/(l-|z|2) есть элемент длины в гиперболич. метрике круга D. Ограниченные голоморфные функции и мероморфные функции, не принимающие трех различных значений, являются нормальными функциями, и нек-рые свойства функций названных классов переносятся на произвольные нормальные функции. Напр., для произвольной нормальной функции справедливо утверждение теоремы Линделёфа. Класс всех нормальных мероморфных функций в круге Dимеет нек-рое сходство с классом ограниченного вида функций. Однако имеются и существенные различия. Напр., существуют нормальные мероморфные функции без асимптотич. значений, а следовательно и без радиальных граничных значений, чего не может быть для функций ограниченного вида. Важные исследования аспмнтотич. значений были проведены Дж. МакЛейном (G. R. MacLane, см. [7], [9]). Теория МакЛейна позволила получить новые доказательства известных ранее свойств нормальных функций; так, напр., множество точек [img: http://localhost:8080/file/041741-1.jpg], в к-рых нормальная голоморфная функция f(z) имеет асимптотич. значение, а следовательно и угловое граничное значение, плотно на Г. С понятием нормальности тесно связано распределение значений мероморфных функций. Последовательность {zn} точек zn единичного круга [img: http://localhost:8080/file/041741-2.jpg], наз. Р- последовательностью для меро-морфной функции f(z) в D, если для любой ее бесконечной подпоследовательности и для любого e>0 множество [img: http://localhost:8080/file/041741-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041741-4.jpg] состоит самое большее из двух значений. Показано, что f обладает хотя бы одной P-последовательностью в том и только в том случае, если [img: http://localhost:8080/file/041741-5.jpg] Таким образом, распределение значений мероморфной функции f(z) связано со строением П. м. непрерывной функции qf(z). Существенные продвижения имеются в теории П. м. общих отображений [img: http://localhost:8080/file/041741-6.jpg]. Так, еще в 1955 была доказана теорема о точках неопределенности: для произвольного отображения [img: http://localhost:8080/file/041741-7.jpg] точки [img: http://localhost:8080/file/041741-8.jpg], в к-рые можно провести две непрерывные кривые [img: http://localhost:8080/file/041741-9.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041741-10.jpg] такие, что [img: http://localhost:8080/file/041741-11.jpg] образуют самое большее счетное множество. Теорема максимальности Коллингвуда: пусть L0 - произвольный континуум в круге Dтакой, что [img: http://localhost:8080/file/041741-12.jpg], и пусть континуум Lq получается из L0 поворотом на угол q вокруг начала координат; тогда для произвольного отображения f:D [img: http://localhost:8080/file/041741-13.jpg] W точки [img: http://localhost:8080/file/041741-14.jpg], в к-рых [img: http://localhost:8080/file/041741-15.jpg] образуют множество первой категории на Г. Точку [img: http://localhost:8080/file/041741-16.jpg] относят к множеству С(f), если П. м. C(f,z; D).совпадает с пересечением [img: http://localhost:8080/file/041741-17.jpg] по всем угловым областям с вершиной z. Доказано [10], что [img: http://localhost:8080/file/041741-18.jpg] для произвольного отображения f: D [img: http://localhost:8080/file/041741-19.jpg] W, где Е - множество типа Fs и первой категории. Обратно, для произвольного множества [img: http://localhost:8080/file/041741-20.jpg] типа Fs и первой категории существует голоморфная и ограниченная в Dфункция f(z), для к-рой E=ГC(f). Множество С(I).является подмножеством множества K(f), состоящего из таких точек [img: http://localhost:8080/file/041741-21.jpg], в к-рых [img: http://localhost:8080/file/041741-22.jpg] для любых двух угловых областей D(z, j1, j2) и D(z, j'1, j'2). Пусть [img: http://localhost:8080/file/041741-23.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041741-24.jpg]. Для данного e>0 пусть r(z, e, E).обозначает длину наибольшей открытой дуги на Г, лежащей в дуговой e-окрестности [img: http://localhost:8080/file/041741-25.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041741-26.jpg] точки z и не имеющей общих точек с Е;если такой дуги нет, то полагают r(z, e, Е)=0. Множество Еназ. пористым на Г, если для любой точки [img: http://localhost:8080/file/041741-27.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041741-28.jpg] s-пористое множество есть объединение не более чем счетного числа пористых множеств. Всякое s-пористое множество есть множество первой категории и линейной меры нуль. Для произвольного отображения [img: http://localhost:8080/file/041741-29.jpg] справедливо равенство Г= [img: http://localhost:8080/file/041741-30.jpg], где Еесть а-пористое множество типа Gds. Обратно, для произвольного s-пористого множества Есуществует голоморфная и ограниченная в Dфункция f(z), для к-рой [img: http://localhost:8080/file/041741-31.jpg]. О теории П. м. для функций многих комплексных переменных см., напр., [15] - [17].