Представимый функтор

ковариантный (или контравариантный) функтор Fиз нек-рой категории [img: http://localhost:8080/file/041742-54.jpg] в категорию множеств [img: http://localhost:8080/file/041742-55.jpg], изоморфный одному из основных теоретико-множественных функторов: [img: http://localhost:8080/file/041742-56.jpg] Функтор [img: http://localhost:8080/file/041742-57.jpg] представим тогда и только тогда, когда найдутся такие объект [img: http://localhost:8080/file/041742-58.jpg] и элемент [img: http://localhost:8080/file/041742-59.jpg], что для каждого элемента [img: http://localhost:8080/file/041742-60.jpg], существует единственный морфизм [img: http://localhost:8080/file/041742-61.jpg], для к-рого x=aF(a). Объект Аназывается представляющим функтор F;он определен однозначно с точностью до изоморфизма. В категории множеств тождественный функтор представим: представляющим объектом служит одноточечное множество. Функтор взятия нек-рой декартовой степени также представим: представляющим объектом служит множество, мощность к-рого равна этой степени. В произвольной категории произведение П. ф. Fi с представляющими объектами [img: http://localhost:8080/file/041742-62.jpg], представимо тогда и только тогда, когда в этой категории существует копроизведение объектов Ai. Всякий ковариантный П. ф. перестановочен с пределами, т, е. непрерывен. П. ф.- аналог понятия "свободная универсальная алгебра с одним образующим". Для любого функтора [img: http://localhost:8080/file/041742-63.jpg] и П. ф. Fмножество естественных преобразований Nat(F, G) изоморфно множеству G(A), где А - представляющий объект. Это показывает, что П. ф. являются свободными объектами категории функторов. Для аддитивных категорий вместо функторов со значениями в [img: http://localhost:8080/file/041742-64.jpg] рассматриваются аддитивные функторы со значениями в категории абелевых групп; поэтому под П. ф. понимается аддитивный функтор, изоморфный основному аддитивному функтору. Понятие П. ф. первоначально возникло в алгебраич. геометрии (см. [2]). Наиболее важными примерами П. ф. здесь являются функторы Пикара Pic X/S и Гильберта Hilb X/S, представимые в категории алгебраических пространств (см. [1]). Пусть К - поле частных регулярного дискретного нормированного кольца О с совершенным полем вычетов. Если Х 0- гладкая геометрически неприводимая собственная кривая рода g>0 над К, то ее минимальная модель представляет функтор [img: http://localhost:8080/file/041742-65.jpg] из категории регулярных O-схем. Если А - абелево многообразие над К, то его минимальная Нерона модель является гладкой групповой схемой [img: http://localhost:8080/file/041742-66.jpg], представляющей функтор [img: http://localhost:8080/file/041742-67.jpg] из категории гладких О-схем.