Представление полугруппы

S в классе полугрупп X - гомоморфизм полугруппы S в нек-рую полугруппу из класса X (в случае изоморфизма говорят о точном представлении). Обычно имеются в виду классы каких-либо конкретных полугрупп. Наиболее изучены представления в классе полугрупп преобразований (короче - представления преобразованиями), в классах полугрупп частичных преобразований и бинарных отношений, в классе полугрупп матриц (т. н. матричные, или линейные, П. п.). В теории автоматов с каждым автоматом связано представление свободной полугруппы преобразованиями множества его внутренних состояний. Специальный характер носят П. п. преобразованиями, связанными тем или иным образом со свойствами элементов преобразуемого множества, наделенного какой-либо структурой (эндоморфизмами, непрерывными преобразованиями и т. п.). Всякая полугруппа с единицей изоморфно представима как полугруппа всех эндоморфизмов ориентированного или неориентированного графа, как полугруппа всех эндоморфизмов нек-рой алгебры с унарными операциями и т. п. Известно (1983) несколько конструкций, позволяющих получить все П. п. частичными преобразованиями. Они строятся из нек-рых простейших П. п. при помощи их объединения, кратного повторения, ограничения на подмножестве и операции погружения полугрупп. Присоединив к полугруппе Sединицу: [img: http://localhost:8080/file/041742-105.jpg] и продолжив регулярное П. п. Sлевыми сдвигами на декартову степень Sx полугруппы S1, получают представление jI - I-кратное повторение регулярного П. и. S. Всякое представление yполугруппы Sпреобразованиями множества W может быть получено (см. [2]) из jI с помощью нек-рого отображения [img: http://localhost:8080/file/041742-106.jpg] так, что [img: http://localhost:8080/file/041742-107.jpg] Особую роль играют транзитивные П. п., т. с. такие ее представления j преобразованиями множества W, что для любых [img: http://localhost:8080/file/041742-108.jpg] найдется а, для которого (ja)a=b. П. п. взаимно однозначными частичными преобразованиями связаны с понятием и свойствами инверсных полугрупп. При исследовании матричных П. п. привлекаются к рассмотрению полугрупповые алгебры. Изучается вопрос о приводимости матричных П. п. Найдены неприводимые представления для ряда полугрупп (в том числе и для конечных). Матричные представления вполне простых и вполне 0-простых полугрупп могут быть построены как продолжение представлений их подгрупп. Матричные представления произвольных полугрупп могут быть описаны при помощи представлений их факторов, являющихся простыми и 0-простыми полугруппами.