Представление симметрической группы

- линейное представление группы Sm над каким-либо полем К. Если char K=0, то все конечномерные П. с. г. вполне приводимы и определены над Q (иначе говоря, все неприводимые конечномерные представления над Q абсолютно неприводимы). Неприводимые конечномерные представления группы Sm над Q классифицируются следующим образом. Пусть d - какая-либо Юнга диаграмма, отвечающая разбиению l= (l1,...,lr).числа т, Rd (соответственно С d) - подгруппа группы Sm, состоящая из всех подстановок, переводящих каждое из чисел 1,2,..., тв число, находящееся в той же строке (соответственно столбце) диаграммы d. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041742-109.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041742-110.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041742-111.jpg] - разбиение числа т, сопряженное к разбиению l. Существует единственное неприводимое представление [img: http://localhost:8080/file/041742-112.jpg] группы Sm (зависящее только от l) со следующими свойствами: 1) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и d, что Т l(g)ud=ud для любого [img: http://localhost:8080/file/041742-113.jpg]; 2) в пространстве Ul имеется такой ненулевой вектор и 'd, что Т l(g)u'd=e(g)u'd для любого [img: http://localhost:8080/file/041742-114.jpg], где e(g)= + l - четность подстановки g. Представления, отвечающие различным разбиениям, не эквивалентны, и ими исчерпываются все неприводимые представления группы Sm над Q. Векторы и d и u'd определены однозначно с точностью до умножения на число. Для всех диаграмм, отвечающих разбиению l, эти векторы нормируются таким образом, что gud=ugd и gu'd=u'gd для любого [img: http://localhost:8080/file/041742-115.jpg], где gd обозначает диаграмму, получаемую из dприменением ко всем числам подстановки g. Векторы и d (соответственно и 'd), соответствующие стандартным диаграммам d, образуют базис пространства Ul; в этом базисе операторы представления Т l записываются целочисленными матрицами. Размерность представления Т l равна [img: http://localhost:8080/file/041742-116.jpg] где li=li+r-i (i=l,..., r), а произведение в знаменателе второго выражения берется по всем клеткам cij таблицы Юнга tl, причем lij обозначает длину соответствующего крюка. Разбиению (т).отвечает тривиальное одномерное представление группы Sm, а разбиению (1,...,1) - нетривиальное одномерное представление e (четность). Разбиению l', сопряженному к l, отвечает представление eТ l. Пространство Ul', канонич. образом (с точностью до гомотетии) отождествляется с пространством Ul так, что Tl'(g).e(g).l(g).для любого [img: http://localhost:8080/file/041742-117.jpg]; при этом можно считать, что и'd=ud,, где d'- диаграмма, получаемая из dтранспонированием. Построение полной системы неприводимых П. с. г. производится с помощью Юнга симметризаторов, позволяющих получить разложение регулярного представления. Если d - диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l, то представление Tl, эквивалентно П. с. г. Sm в левом идеале групповой алгебры [img: http://localhost:8080/file/041743-1.jpg], порожденном симметризатором Юнга е d. Апостериорное описание элемента е d состоит в следующем: Tm(е d)=0 при [img: http://localhost:8080/file/041743-2.jpg], а Ta(е d) - оператор ранга 1, действующий по формуле Ta(е d) и=(и d, u)u'd для любого [img: http://localhost:8080/file/041743-3.jpg], где (,) - подходящим образом нормированное инвариантное скалярное умножение в пространстве Ul -При этом [img: http://localhost:8080/file/041743-4.jpg] Производящая функция для характеров представлений Т l дается Фробениуса формулой. Однако для вычисления отдельных значений характеров удобнее пользоваться рекуррентными соотношениями. Наиболее эффективным из них является правило Мурнагана - Накаямы: пусть [img: http://localhost:8080/file/041743-5.jpg] - значение характера представления Т l на классе сопряженных элементов группы Sm, определенном разбиением m числа m, и пусть разбиение m, содержит число р. Через [img: http://localhost:8080/file/041743-6.jpg] обозначается разбиение числа m-р, получаемое из m выбрасыванием числа р. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041743-7.jpg] где сумма берется по всем разбиениям [img: http://localhost:8080/file/041743-8.jpg] числа m- р, получаемым удалением косого крюка длины риз таблицы Юнга tl, а [img: http://localhost:8080/file/041743-9.jpg] обозначает высоту удаленного косого крюка. Имеется также метод (см. [5]), позволяющий найти целиком таблицу характеров группы Sm, т. е. матрицу A=||а lm||. Пусть Ml, есть П. с. г. S т, индуцированное тривиальным одномерным представлением подгруппы Rl=Rd, где d - диаграмма Юнга, отвечающая разбиению l. И пусть Ml=SmmlmTm, а M=||mlm||. Если считать, что строки и столбцы матрицы Мрасположены в порядке лексикографич. убывания индексов (разбиений), то это будет нижняя треугольная матрица с единицами на диагонали. Значение характера представления Ml на классе равно [img: http://localhost:8080/file/041743-10.jpg] где cm - порядок централизатора подстановки из класса. Матрица В=||blm|| является верхней треугольной, и имеет место соотношение ММ Т=ВС -1 В Т, где C=diag(cm), из к-рого однозначно определяется матрица М. После этого матрица Анаходится по формуле А = М -1 В. Ограничение представления Т l группы Sm на подгруппу Sm-1 находится по правилу ветвления: [img: http://localhost:8080/file/041743-11.jpg] где суммирование распространяется на те i, для к-рых li>li+1 (включая r). Ограничение представления Т l на подгруппу Am при [img: http://localhost:8080/file/041743-12.jpg] абсолютно неприводимо, а при l=l' распадается над квадратичным расширением поля [img: http://localhost:8080/file/041743-13.jpg] в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. Получаемые таким образом представления группы А m исчерпывают все ее неприводимые представления над [img: http://localhost:8080/file/041743-14.jpg]. О II. с. г. в тензорах см. в ст. Представления классических групп. Разработана также теория модулярных П. с. г. (см., напр., [5]).