Представления классических групп

в тензорах - линейные представления групп GL(V), SL(V), 0(V,f), SO(V, f), Sp(V,f).(где V есть n-мерное векторное пространство над полем k, f - невырожденная симметрическая или знакопеременная билинейная форма на V).в инвариантных подпространствах тензорных степеней Tm(V).пространства V. Если k - поле нулевой характеристики, то все неприводимые полиномиальные линейные представления указанных групп реализуются в тензорах. В случае [img: http://localhost:8080/file/041743-55.jpg] перечисленные выше группы являются комплексными группами Ли. Для всех них, кроме GL(V), все (дифференцируемые) линейные представления полиномиальны; всякое линейное представление группы GL(V).имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041743-56.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041743-57.jpg], a R - полиномиальное линейное представление. Классические компактные группы Ли Un, SUn, О п, SOn, Spn имеют те же комплексные линейные представления и те же инвариантные подпространства в пространствах тензоров, что и их комплексные оболочки [img: http://localhost:8080/file/041743-58.jpg] Поэтому результаты теории линейных представлений, полученные для классических комплексных групп Ли, переносятся на соответствующие компактные группы и наоборот ("унитарный трюк" Вейля). В частности, с помощью интегрирования по компактной группе доказывается полная приводимость линейных представлений классических комплексных групп Ли. Естественное линейное представление группы GL(V).в [img: http://localhost:8080/file/041743-59.jpg] пространстве Tm(V).определяется по формуле В том же пространстве определено линейное представление симметрич. группы Sm: [img: http://localhost:8080/file/041743-60.jpg] Операторы этих двух представлений перестановочны; тем самым в Tm(V).определено линейное представление группы [img: http://localhost:8080/file/041743-61.jpg]. Если char k=0, то пространство Tm(V).может быть разложено в прямую сумму минимальных [img: http://localhost:8080/file/041743-62.jpg] - инвариантных подпространств: [img: http://localhost:8080/file/041743-63.jpg] Здесь суммирование происходит по всем разбиениям Кчисла т, содержащим не более пслагаемых, Ul - пространство абсолютно неприводимого представления Tl группы Sm, отвечающего разбиению l(см. Представление симметрической группы),a Vl -пространство нек-рого абсолютно неприводимого представления Rl группы GL(V). Разбиения l удобно представлять в виде наборов (l1, l2,..., ln) целых неотрицательных чисел, [img: http://localhost:8080/file/041743-64.jpg] удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/041743-65.jpg] Подпространство [img: http://localhost:8080/file/041743-66.jpg] разлагается в сумму минимальных GL(V)-инвариантных подпространств, в каждом из к-рых реализуется представление Rl. Эти подпространства могут быть явно получены применением к Tm(V) Юнга симметризаторов, связанных с разбиением l. Напр., для разбиения l=(т,0,..., 0) (соответственно l=(1,...,1,0,...,0) при [img: http://localhost:8080/file/041743-67.jpg]) dim Ul = 1 и [img: http://localhost:8080/file/041743-68.jpg] есть минимальное GL(V)-инвариантное подпространство, состоящее из всех симметрич. (соответственно кососимметрич.) тензоров. Представление Rl характеризуется следующими свойствами. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041743-69.jpg] - подгруппа, состоящая из линейных операторов, к-рые в нек-ром базисе (е 1,...,е п).пространства Vзаписываются верхними треугольными матрицами. Тогда операторы [img: http://localhost:8080/file/041743-70.jpg], имеют единственный (с точностью до числового множителя) общий собственный вектор vl, называемый старшим вектором представления Rl. Соответствующее собственное значение (старший вес представления Rl) равно [img: http://localhost:8080/file/041743-71.jpg], где bii есть i-й диагональный элемент матрицы оператора bв базисе (e1,..., е п). Представления Rl,, отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Характер представления Rl находится по формуле Вейля: [img: http://localhost:8080/file/041743-72.jpg] где z1,..., z п- корни характеристич. многочлена оператора g, Wl - обобщенный определитель Вандер-монда, отвечающий разбиению l (см. Фробениуса формула), W0- обычный определитель Вандермонда. Размерность представления Rl, равна [img: http://localhost:8080/file/041743-73.jpg], где li=li+n-i. Ограничение представления Rl, на унимодулярную группу SL(V).неприводимо. Ограничения на SL(V).представлений Rl, и Rm, эквивалентны тогда и только тогда, когда mi=li+s (s не зависит от i). Ограничение представления Rl группы GLn(k).на подгруппу GLn-1(k) находится по правилу: [img: http://localhost:8080/file/041743-74.jpg] где m пробегает все наборы (m1,..., m.n-1), удовлетворяющие условию [img: http://localhost:8080/file/041743-75.jpg] Для всякой диаграммы Юнга d, отвечающей разбиению l, тензор [img: http://localhost:8080/file/041743-76.jpg] (обозначения см. в ст. Представление симметрической группы).является результатом альтернирования по столбцам диаграммы dтензора [img: http://localhost:8080/file/041743-77.jpg], где ik - номер строки диаграммы d, в к-рой находится число k. Тензоры, построенные таким образом по всем стандартным диаграммам d, образуют базис минимального Sm -инварИантного подпространства [img: http://localhost:8080/file/041743-78.jpg], в к-ром реализуется представление Т l, группы Sm. Линейное представление ортогональной группы 0(V, f) в пространстве Tm(V).устроено следующим образом. Имеется разложение в прямую сумму двух [img: http://localhost:8080/file/041743-79.jpg] -инвариантных подпространств: [img: http://localhost:8080/file/041743-80.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041743-81.jpg] состоит из бесследных тензоров, т. е. тензоров, свертка к-рых с формой f по любым двум индексам равна нулю, а [img: http://localhost:8080/file/041743-82.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/041743-83.jpg] в свою очередь разлагается в прямую сумму минимальных [img: http://localhost:8080/file/041743-84.jpg] -инвариантных подпространств: [img: http://localhost:8080/file/041743-85.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041743-86.jpg]. При этом [img: http://localhost:8080/file/041743-87.jpg] тогда и только тогда, когда сумма [img: http://localhost:8080/file/041743-88.jpg] высот первых двух столбцов таблицы Юнга, отвечающей разбиению l, не превосходит п, и в этом случае [img: http://localhost:8080/file/041743-89.jpg] есть пространств абсолютно неприводимого представления [img: http://localhost:8080/file/041743-90.jpg] группы 0(V, f). Представления [img: http://localhost:8080/file/041743-91.jpg], отвечающие различным разбиениям l, не эквивалентны. Если разбиение l удовлетворяет условию [img: http://localhost:8080/file/041743-92.jpg], то после замены первого столбца его таблицы Юнга столбцом высоты п-l'1 получается таблица Юнга нек-рого разбиения [img: http://localhost:8080/file/041743-93.jpg], также удовлетворяющего этому условию. Соответствующие представления группы O(V, f) связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/041743-94.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041743-95.jpg] (в частности, они имеют одинаковую размерность). Ограничение представления R0l, на подгруппу SO(V, f) абсолютно непрпводимо, за исключением случая, когда пчетно и [img: http://localhost:8080/file/041743-96.jpg] (т. е. число слагаемых разбиения l равно n/2). В этом последнем случае оно распадается над полем kили его квадратичным расширением в сумму двух неэквивалентных абсолютно неприводимых представлений одинаковой размерности. При вычислении размерности представления [img: http://localhost:8080/file/041743-97.jpg] можно считать, что [img: http://localhost:8080/file/041743-98.jpg] (в противном случае следует заменить Кна X). Пусть li=li+n/2-i. Тогда при нечетном п [img: http://localhost:8080/file/041743-99.jpg], а при четном пи [img: http://localhost:8080/file/041743-100.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041743-101.jpg] При [img: http://localhost:8080/file/041743-102.jpg] последняя формула дает половину размерности представления [img: http://localhost:8080/file/041743-103.jpg], т. е. размерность каждого из соответствующих ему абсолютно неприводимых представлений группы SO(V, f). Разложение пространства Tm(V).относительно симплектич. группы Sp(V, f) аналогично разложению относительно ортогональной группы, с той разницей, что [img: http://localhost:8080/file/041743-104.jpg] тогда и только тогда, когда [img: http://localhost:8080/file/041743-105.jpg]. Размерность представления [img: http://localhost:8080/file/041743-106.jpg] находится в этом случае по формуле [img: http://localhost:8080/file/041743-107.jpg] где li=li+n/2-i+1.