Примарное разложение

представление идеала I кольца R(или подмодуля Nмодуля М).в виде пересечения примерных идеалов (примерных подмодулей). П. р. обобщает разложение целого числа в произведение степеней различных простых чисел. Существование П. р. в кольце многочленов доказал Э. Ласкер [1], в произвольном коммутативном нётеровом кольце -0. Нётер [2]. Пусть R - коммутативное нётерово кольцо. П. р. [img: http://localhost:8080/file/041747-48.jpg] наз. неприводимым, если [img: http://localhost:8080/file/041747-49.jpg] для любого j=1,..., пи радикалы Р 1,..., Р n идеалов Q1,..., Qn попарно различны (радикалом примерного идеала Qназ. такой единственный простой идеал [img: http://localhost:8080/file/041747-50.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041747-51.jpg] для нек-рого натурального числа п). Совокупность простых идеалов { Р 1,..., Р п}определена однозначно идеалом I (первая теорема единственности П. р.), минимальные по включению элементы этой совокупности наз. изолированными простыми идеалами идеала I, остальные - вложенными простыми идеалами, причем примерные идеалы, соответствующие изолированным простым идеалам, также однозначно определены идеалом I (вторая теорема единственности П. р., см. [3]). Изолированным простым идеалам идеала I кольца многочленов над полем соответствуют неприводимые компоненты аффинного многообразия корней идеала I. Имеются различные некоммутативные обобщения понятия П. р. Аксиоматизация П. р. привела к развитию аддитивной теории идеалов.