Прогонки метод

- метод переноса одноточечного граничного условия с помощью дифференциального или разностного уравнения, соответствующего данному уравнению. Применяется для решения граничной задачи в том случае, когда пристрелки метод не эффективен. Пусть на отрезке [img: http://localhost:8080/file/041748-53.jpg] задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение [img: http://localhost:8080/file/041748-54.jpg] (1) где квадратная матрица (х).порядка n и вектор f(x) [img: http://localhost:8080/file/041748-55.jpg] - известные непрерывные функции, дифференцируемая вектор-функция у(х) = [img: http://localhost:8080/file/041748-56.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041748-57.jpg] подлежит определению. К уравнению (1) присоединены граничные условия в форме [img: http://localhost:8080/file/041748-58.jpg] (2) где известные матрицы j и y имеют размеры nx kи n x l и ранги k и l соответственно, [img: http://localhost:8080/file/041748-59.jpg] Используя дифференциальные уравнения [img: http://localhost:8080/file/041748-60.jpg] с начальными условиями u(а)=j, g(а)=a, где искомая дифференцируемая матрица-функция и(х).имеет размеры [img: http://localhost:8080/file/041748-61.jpg], можно определить и(х).и g(х).на всем отрезке [img: http://localhost:8080/file/041748-62.jpg] (прямой ход прогонки). С помощью уравнения [img: http://localhost:8080/file/041748-63.jpg] и второго из граничных условий (2) можно определить значение у(b), если квадратная матрица [и(b),y] имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (1)-(2) вычисляется теперь как решение задачи Коши для уравнения (1) в направлении от точки х=b к точке х=а (обратный ход прогонки). Указанный метод применим и к многоточечной задаче, когда условия вида (2) задаются не только на концах, но и в нескольких внутренних точках отрезка [img: http://localhost:8080/file/041748-64.jpg] Разработаны варианты метода прогонки для переноса линейных граничных условий, отличных от (2) (см. [1]). Достоинства П. м. видны на примере следующей граничной задачи: [img: http://localhost:8080/file/041748-65.jpg] где квадратная матрица Q(x).порядка пи вектор f(х).размера п - известные непрерывные функции, дважды дифференцируемая вектор-функция у(х).подлежит определению, известные квадратные матрицы j и y имеют порядок [img: http://localhost:8080/file/041748-66.jpg] Используя дифференциальные уравнения [img: http://localhost:8080/file/041748-67.jpg] с начальными условиями v(а)=j, g(a)=a, где искомая дифференцируемая квадратная матрица-функция v(х).имеет порядок [img: http://localhost:8080/file/041748-68.jpg], ищутся v(x).и g(х).на всем отрезке [img: http://localhost:8080/file/041748-69.jpg] (прямой ход прогонки). С помощью уравнения [img: http://localhost:8080/file/041748-70.jpg] и граничного условия (5) можно определить значение [img: http://localhost:8080/file/041748-71.jpg] (6) если матрица v(b) -y имеет ранг п. Искомое решение граничной задачи (3) - (5) находится как решение задачи Коши для уравнения [img: http://localhost:8080/file/041748-72.jpg] с начальным условием (6) (обратный ход прогонки). Таким образом, П. м. для задачи (3) - (5) является методом понижения порядка дифференциального уравнения (3). В случае конечной последовательности линейных алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/041748-73.jpg] (7) где коэффициенты а i, с i, bi- - известные квадратные матрицы порядка v, a fi и ji - известный и искомый вектор-столбцы размера v, a1=0, с n=0, алгоритм прогонки определяется следующим образом: [img: http://localhost:8080/file/041748-74.jpg] при условиях b1=0, z1=0 (прямой ход) и [img: http://localhost:8080/file/041748-75.jpg] при условии jn+1=0 (обратный ход). Здесь bi - квадратная матрица порядка v, zi и ji - вектор-столбцы размера v. Изложенный метод наз. методом правой прогонки. Аналогично формулам (8)- (10) получаются формулы левой прогонки. Комбинируя левую и правую прогонки, получают метод встречных прогонок. При решении уравнений (7) с сильно меняющимися коэффициентами применяется потоковый метод прогонки. Для нахождения периодич. решения бесконечной последовательности уравнений вида (7) с периодич. коэффициентами используется циклическая прогонка (см. [4]). См. также Ортогональной прогонки метод.