Продолжений и охватов метод

метод исследования различных дифференциально-геометрич. структур на гладких многообразиях и их подмногообразиях. В основе П. и о. м. лежат дифференциалъно-алгебраич. критерии операций, позволяющих в инвариантной (безкоординатной) форме присоединять к данной структуре внутренне связанные с ней структуры, в том числе и их дифференциальные инварианты. Исторически П. и о. м. возник вслед за методом подвижного репера как инвариантный метод исследования подмногообразий однородных пространств или пространств со связностью. Впоследствии П. и о. м. был распространен на геометрию произвольных расслоенных пространств. В отличие от главной цели метода подвижного репера - построения канонич. поля реперов и дифференциальных инвариантов изучаемой структуры путем последовательного сужения соответствующих главных расслоенных пространств, П. и о. м. ставит целью построение инвариантов и инвариантно присоединяемых структур без сужения главных расслоений реперов. В необходимых случаях П. и о. м. включает и процесс канонизации репера. Пусть G- группа Ли и К(G).- класс всех G-пpoстранств с левосторонним действием группы Ли Gна них как группы преобразований. G-oхватом наз. такое гладкое сюръективное отображение [img: http://localhost:8080/file/041750-49.jpg] что для любого [img: http://localhost:8080/file/041750-50.jpg] коммутативна диаграмма [img: http://localhost:8080/file/041750-51.jpg] где lg и [img: http://localhost:8080/file/041750-52.jpg] - преобразования G-пространств Хи Yсоответственно, определяемые элементом g. В этом случае говорят, что пространство Yс помощью f охвачено пространством Xили пространство Xявляется продолжением пространства Y. Класс К(G).становится категорией с морфизмами - G-охватами. Примеры G-охватов. 1) Пусть [img: http://localhost:8080/file/041750-53.jpg] - пространство тензоров типа [img: http://localhost:8080/file/041750-54.jpg]. Охватом является отображение свертки [img: http://localhost:8080/file/041750-55.jpg] Полная свертка тензоров пространства Т(р, р) [img: http://localhost:8080/file/041750-56.jpg] является примером охвата инварианта. 2) Если [img: http://localhost:8080/file/041750-57.jpg], то XX Yс помощью prX и рrY охватывает Xи Yсоответственно. Иными словами, XX Yявляется продолжением как X, так и Y. Понятие охвата естественным образом распространяется на классы расслоенных пространств, присоединенных к главным расслоениям. Пусть p: Р(М, Н) [img: http://localhost:8080/file/041750-58.jpg] М - главное расслоенное пространство со структурной группой Н, действующей на Рправым образом, и [img: http://localhost:8080/file/041750-59.jpg] - любое левое H-пространство. Объектами класса К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств являются пространства типа [img: http://localhost:8080/file/041750-60.jpg] где факторизация подразумевается по следующему правому действию группы Нна PX F: [img: http://localhost:8080/file/041750-61.jpg] Пространство [img: http://localhost:8080/file/041750-62.jpg] является расслоенным над базой Мпространством с типовым слоем F. Элемент [img: http://localhost:8080/file/041750-63.jpg], определяемый парой [img: http://localhost:8080/file/041750-64.jpg], записывают в виде [img: http://localhost:8080/file/041750-65.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041750-66.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041750-67.jpg] - отображение H-охвата, то в силу конструкций F(P).и Ф(Р) f индуцирует послойное сюръективное отображение [img: http://localhost:8080/file/041750-68.jpg], называемое Р- охватом. Р- охват f определяется по закону: [img: http://localhost:8080/file/041750-69.jpg] Таким образом, класс К(Р).присоединенных к Ррасслоенных пространств является категорией с морфизмами типа Р-охватов [img: http://localhost:8080/file/041750-70.jpg]. Соответствие [img: http://localhost:8080/file/041750-71.jpg] является биективным функтором категории К(Н).на категорию К(Р). Следовательно, достаточно изучать операции охвата в категориях H-пространства. Если [img: http://localhost:8080/file/041750-72.jpg] - сечение расслоенного пространства F(P).(поле геометрического объекта типа F), то Р-охват [img: http://localhost:8080/file/041750-73.jpg] присоединяет к сечению s сечение [img: http://localhost:8080/file/041750-74.jpg] охваченного расслоения Ф(Р); иными словами, поле геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/041750-75.jpg], охватывает поле геометрич. объекта [img: http://localhost:8080/file/041750-76.jpg]. Если s(x) - структурный объект нек-рой G-структуры, то изучение G-структуры и ее инвариантов сводится во многом к отысканию охватываемых геометрич. объектов. В процессе отыскания охватываемых геометрич. объектов важную роль играют дифференциальные критерии охватов, формулируемые в терминах структурных дифференциальных форм расслоенных пространств и составляющие основу П. и о. м.