Продолжения по параметру метод

включение данной задачи в однопараметрическое (0 [img: http://localhost:8080/file/041750-77.jpg] 1) семейство задач, связывающее данную задачу (а=1) с известной разрешимой задачей (a=0), и изучение зависимости решений от параметра a. Метод широко используется в теории дифференциальных уравнений. Пусть, напр., требуется доказать разрешимость в классе Гёльдера задачи Дирихле [img: http://localhost:8080/file/041750-78.jpg] (1) в ограниченной N-мерной области [img: http://localhost:8080/file/041750-79.jpg] для линейного эллиптич. оператора 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041750-80.jpg] Вводится семейство эллиптич. операторов [img: http://localhost:8080/file/041750-81.jpg] и рассматривается для него задача Дирихле [img: http://localhost:8080/file/041750-82.jpg] (2) Пусть [img: http://localhost:8080/file/041750-83.jpg] - множество тех [img: http://localhost:8080/file/041750-84.jpg], для к-рых задача (2) однозначно разрешима в классе [img: http://localhost:8080/file/041750-85.jpg] при любых f и [img: http://localhost:8080/file/041750-86.jpg]. Множество [img: http://localhost:8080/file/041750-87.jpg] не пусто, поскольку при a=0 (т. е. для оператора Лапласа) задача (2) однозначно разрешима в классе [img: http://localhost:8080/file/041750-88.jpg], как это следует из теории потенциала. Множество [img: http://localhost:8080/file/041750-89.jpg] одновременно открыто и замкнуто на [0, 1] и; следовательно, совпадает с [0, 1]. Таким образом, a=1 принадлежит [img: http://localhost:8080/file/041750-90.jpg] и задача (1) разрешима. П. по п. м. (в варианте аналитич. родолжения по параметру) был предложен и развит в ряде работ С. Н. Бернштейна (см. [1], [2]). В дальнейшем этот метод нашел широкое применение в различных вопросах теории линейных и нелинейных дифференциальных уравнений, причем идея аналитич. родолжения по параметру была дополнена более общими функциональными и топологич. принципами (см. [3]).