Проективная схема

- замкнутая подсхема проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/041752-37.jpg]; в однородных координатах x0,..., х п на [img: http://localhost:8080/file/041752-38.jpg] проективная схема задается системой однородных алгебраич. уравнений: [img: http://localhost:8080/file/041752-39.jpg] Каждая П. с. является полной (компактной в случае k= [img: http://localhost:8080/file/041752-40.jpg]); обратно, полная схема проективна, если на ней есть обильный обратимый пучок. Имеются и другие критерии проективности. Обобщением понятия П. с. служит проективный мор-физм. Морфизм схем [img: http://localhost:8080/file/041752-41.jpg] наз. проективным (а X - схемой, проективной над Y), если Xявляется замкнутой подсхемой проективного расслоения [img: http://localhost:8080/file/041752-42.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041752-43.jpg] - локально свободный [img: http://localhost:8080/file/041752-44.jpg] -модуль. Композиция проективных морфизмов проективна. Проективность морфизма сохраняется и при замене базы; в частности, слои проективного морфизма являются проективными схемами (но не обратно). Если схема Xпроективна, а [img: http://localhost:8080/file/041752-45.jpg] - конечный сюръективный морфизм, то и Zпроективна. Любая П. с. (над Y) может быть получена при помощи конструкции проективного спектра. Ограничиваясь случаем аффинной базы, Y=Sрес R:пусть [img: http://localhost:8080/file/041752-46.jpg] - градуированная R-алгебра, причем R-модуль A1 имеет конечный тип и порождает алгебру А, и пусть Proj (A)- множество однородных простых идеалов [img: http://localhost:8080/file/041752-47.jpg], не содержащих А 1. Снабженное естественной топологией и структурным пучком множество Proj (A).является проективной Y-схемой; более того, любая проективная Y-схема имеет такой вид.