Проективное изгибание

распространение на проективную геометрию понятия изгибания (наложения) в метрич. теории поверхностен, дано Г. Фубини (G.-Fubini, 1910) (обобщение этого понятия на геометрию любой группы преобразований получил Э. Картав, Е. Cartmi, 1920) с использованием понятия т. н. качения одной поверхности по другой. Пусть G - группа преобразований пространства Е. Поверхность S' налагается на поверхность S(или катится по S).в геометрии группы G, если между их точками устанавливается взаимно однозначное соответствие так, что каждой паре соответствующих точек [img: http://localhost:8080/file/041752-57.jpg]. [img: http://localhost:8080/file/041752-58.jpg] можно присоединить преобразование [img: http://localhost:8080/file/041752-59.jpg], к-рое переводит S' в положение S. При этом требуется, чтобы 1) М' совмещалась с М; 2) каждая кривая [img: http://localhost:8080/file/041752-60.jpg], проходящая через М, имела в этой точке касание n-ro порядка с соответствующей кривой [img: http://localhost:8080/file/041752-61.jpg] (т. е. расстояние между точками М'* и М*, близкими к общей точке М'= М, будет бесконечно малым порядка n+1 но сравнению с расстоянием их от общей точки). Соответствие Sи S', характеризующееся числом п, наз. наложением n - го порядка. Содержащееся здесь понятие расстояния не вносит ограничения на геометрию группы. Однако здесь речь идет о порядке касания кривых в несколько более тесном, чем обычно, смысле слова (отличие состоит э том, что соответствие между точками обеих кривых уже установлено наложением, тогда как обычно оно устанавливается при определении порядка касания). Пусть, далее, G - группа проективных преобразований и пусть Sи S' проективно налагаются. Тогда П. и. есть преобразование поверхности Sс сохранением проективного линейного элемента [img: http://localhost:8080/file/041752-62.jpg] где F2 и F3 - Фубини формы (при этом здесь - наложимость 2-го порядка). И оказывается, что, кроме линейчатых поверхностей, только т. н. поверхности R(см. [1]) допускают нетривиальное П. и. Проективная геометрия занимает некое среднее положение между метрической, где, вообще говоря, всякая поверхность может изгибаться, и аффинной, где понятие изгибания не имеет места: любые две поверхности допускают наложение 1-го порядка и никакие две различные не могут иметь наложение 2-го порядка.