Проективное множество

множество, к-рое может быть получено из борелевских множеств повторным применением операций проектирования и перехода к дополнению. П. м. классифицируются по классам, образующим проективную иерархию. Пусть I=ww- бэровское пространство (гомеоморфное пространству иррациональных чисел). Множество [img: http://localhost:8080/file/041752-74.jpg] принадлежит: 1) классу А 1, если Ресть проекция борелевского множества пространства Im+1; 2) классу СА п (Ресть СА п- множество), если его дополнение Im Р есть An -множество [img: http://localhost:8080/file/041752-75.jpg]; 3) классу А п (Ресть А n -множество), если Ресть проекция СА n-1 -множества пространства [img: http://localhost:8080/file/041752-76.jpg]; 4) классу В п, если Рпринадлежит одновременно классам А п и СА n, [img: http://localhost:8080/file/041752-77.jpg]. Те же классы получаются заменой проекции непрерывным образом (множества того же пространства I т). В силу Суслина теоремы класс А 1 совпадает с классом А -множеств (следовательно, класс СА 1 - с классом СА-множесщв), а класс В 1 - с классом борелевских множеств. Для каждого класса А п построено универсальное множество, и при его помощи доказана следующая теорема о проективной иерархии (теорема "существования", теорема "о непустоте классов"): [img: http://localhost:8080/file/041752-78.jpg] (следовательно, [img: http://localhost:8080/file/041752-79.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041752-80.jpg]), где каждое из включений - строгое. Мощность множества всех П. м. пространства I. равна [img: http://localhost:8080/file/041752-81.jpg]. Каждое А 2 -множество - объединение [img: http://localhost:8080/file/041752-82.jpg] борелевских множеств и, значит, счетно или имеет мощность [img: http://localhost:8080/file/041752-83.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041752-84.jpg] (см. [2], [7]). Для класса А 2 выполнены принципы униформизации и редукции, а для класса СА 2 - (первый) принцип отделимости. Каждый из проективных классов с номером [img: http://localhost:8080/file/041752-85.jpg] инвариантен относительно А-операции. Для каждого из классов А n, СА п существует ds-операция, дающая в точности все множества этого класса, исходя из замкнутых множеств. Изучение П. м. (даже второго класса) - трудная задача. Многие вопросы теории П. м. оказались неразрешимыми в классич. смысле, что полностью подтвердило предвидение (см. [6]): "область П. м. есть область, где принцип исключенного третьего уже не применим". Теория П. м. получила свое дальнейшее продвижение с привлечением сильных теоретико-множественных предположений, таких, как МС (существует измеримый кардинал), PD (аксиома проективной определимости), V=L. В предположении МС: каждое А 2 - множество измеримо (по Лебегу), обладает Бэра свойством и, если несчетно, содержит (непустое) совершенное подмножество; каждое А 3 -множество может быть униформизировано А 4 -множеством. В предположении PD:1) каждой П. м. измеримо, обладает свойством Бэра и, если несчетно, содержит совершенное подмножество, может быть униформизировано П. м., точнее: принцип униформизации выполнен для классов A2n и СА 2п+1;2) для классов А 2n и CA2n+1 выполнен принцип редукции, следовательно, для классов А 2п+1 и СА 2п - принцип отделимости. В предположении V=L:1) существует несчетное СА- множество, не содержащее совершенного подмножества, и неизмеримое B2 -множество без свойства Бэра; 2) при [img: http://localhost:8080/file/041752-86.jpg] для класса An выполнен принцип униформизации. Если для класса А п выполнен принцип униформизации, то выполнен и принцип редукции. При [img: http://localhost:8080/file/041752-87.jpg] обратная импликация не доказуема в ZFC. Если существует неизмеримое (или без свойства Бэра) А 2 -множество, то существует несчетное СА - множество, не содержащее совершенного подмножества. Если каждое несчетное СA -множество содержит совершенное подмножество, то это же верно для каждого несчетного А 2 -множества (см. [7]). Отмеченные результаты справедливы не только для пространства I, но и для числовой прямой и, вообще, для любого полного сепарабельного метрич. пространства. Имеет место следующая теорема о топологич. инвариантности П. м.: гомеоморфный образ П. м. данного класса, расположенный в том же или любом другом полном сепарабельном метрич. пространстве, есть П. м. того же класса.