Проективное пространство

совокупность всех подпространств инцидентностной структуры p-= [img: http://localhost:8080/file/041752-108.jpg], где элементы множества [img: http://localhost:8080/file/041752-109.jpg] наз. точками, а элементы множества [img: http://localhost:8080/file/041752-110.jpg] - прямыми, I - отношение инцидентности. Подпространством инцидентностной структуры p наз. подмножество S множества [img: http://localhost:8080/file/041752-111.jpg], для к-рого справедливо условие: если [img: http://localhost:8080/file/041752-112.jpg], то Множество точек прямой, проходящей через точки ри q, также принадлежат S. Инцидентностная структура p удовлетворяет следующим требованиям: 1) для любых двух различных точек ри qсуществует единственная прямая Lтакая, что pIL, qIL; 2) каждая прямая инцидентна по крайней мере с тремя точками; 3) если две различные прямые L, M пересекаются в точке ри выполнено qIL и rIL,a sIM, tIM, то прямые, проходящие через пары точек r, t и s, q, пересекаются. Подпространство Sпорождено множеством sточек из [img: http://localhost:8080/file/041752-113.jpg] (пишут S=<s>), если Sявляется пересечением всех подпространств, содержащих s. Множество точек s наз. независимым, если для любого [img: http://localhost:8080/file/041752-114.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/041752-115.jpg]. Упорядоченное максимальное и независимое множество точек подпространства Sназ. базисом S, а число его элементов d(S) - размерностью подпространства S. Подпространство размерности 0 является точкой, размерности 1 - проективной прямой. Подпространство размерности 2 наз. проективной плоскостью. В П. н. определены операции сложения и пересечения подпространств. Суммой Р m+Р k подпространств Р m и Pk наз. наименьшее из подпространств, содержащее и Р m, и Pk. Пересечением [img: http://localhost:8080/file/041752-116.jpg] подпространств Р m и Р k наз. наибольшее из подпространств, содержащееся и в Р m, и в Pk. Размерности подпространств Р m, Р k, их суммы и пересечения связаны соотношением [img: http://localhost:8080/file/041752-117.jpg] Для любого Р m существует Pn-m-1 такое, что Р т [img: http://localhost:8080/file/041752-118.jpg] Pn-m-1=P-1= [img: http://localhost:8080/file/041752-119.jpg] И Pm +Pn-m-1= Pn (Pn-m-1- дополнение Р т в Pn), и если Р т [img: http://localhost:8080/file/041752-120.jpg] Р r, то [img: http://localhost:8080/file/041752-121.jpg] для любого Pk (дедекиндово правило), т. е. относительно введенных операций П. п. является дедекиндовой решеткой с дополнениями. П. п. размерности больше двух дезаргово (см. Дезарга предложение), а следовательно, изоморфно П. п. (левому или правому) над подходящим телом k (см. [1]). [img: http://localhost:8080/file/041752-122.jpg] (напр., левое) размерности пнад телом k - совокупность линейных подпространств нек-рого (n+1)-мерного левого линейного пространства [img: http://localhost:8080/file/041752-123.jpg] над телом k;точками [img: http://localhost:8080/file/041752-124.jpg] являются прямые [img: http://localhost:8080/file/041752-125.jpg], т. е. множества классов эквивалентности слева строк (х 0, x1,..., х п), составленных из элементов тела kи не равных одновременно нулю (строки (x0, x1,..., х n).и (y0, y1,..., yn).эквивалентны слева, если существует такое [img: http://localhost:8080/file/041752-126.jpg], что xi=lyi, i=0, l,..., n); подпространствами [img: http://localhost:8080/file/041752-127.jpg] являются (n+1)-мерные подпространства [img: http://localhost:8080/file/041752-128.jpg]. Можно установить нек-рое соответствие между левым [img: http://localhost:8080/file/041752-129.jpg] и правым [img: http://localhost:8080/file/041752-130.jpg] П. п., при к-ром подпространству [img: http://localhost:8080/file/041752-131.jpg] соответствует [img: http://localhost:8080/file/041752-132.jpg] (подпространства [img: http://localhost:8080/file/041752-133.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041752-134.jpg] наз. дуальными друг другу), пересечению подпространств соответствует сумма, а сумме - пересечение. Если нек-рое утверждение, основанное только на свойствах линейных подпространств, их пересечений и сумм, справедливо для [img: http://localhost:8080/file/041752-135.jpg], то справедливо и соответствующее утверждение для [img: http://localhost:8080/file/041752-136.jpg]. Это соответствие между свойствами пространств [img: http://localhost:8080/file/041752-137.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041752-138.jpg] наз. принципом двойственности для П. п. (см. |2]). Конечное тело необходимо коммутативно, следовательно, конечное П. п. размерности больше двух и порядка qизоморфно П. п. над Галуа полем PG(n, q). Конечное П. п. Р(п, q).содержит (q п+1-1)/(q-1) точек и [img: http://localhost:8080/file/041752-139.jpg] подпространств размерности r(см. [4]). Коллинеацией П. п. является перестановка ее точек, к-рая отображает прямые в прямые, при этом подпространства отображаются на подпространства. Нетривиальная коллинеация П. п. имеет не более одного центра и не более одной оси. Группа коллинеа-ций конечного П. п. PG(n, ph).имеет порядок, равный [img: http://localhost:8080/file/041752-140.jpg] Каждое П. п. PG(n, q).допускает циклическую транзитивную группу коллинеаций (см. [3]). Корреляцией d П.