Проективные координаты

взаимно однозначное соответствие между элементами проективного пространства П n (К). (проективными подпространствами Sq).и классами эквивалентных упорядоченных конечных подмножеств элементов тела К. П. к. подпространств Sq при q>0 (наз.. также грассмановыми координатами) определяются через координаты точек (0-мерных подпространств), лежащих в Sq, и потому достаточно определить П. к. точек проективного пространства. Пусть в совокупности строк (х 0, х 1,..., х п)=х не равных одновременно нулю элементов тела К(к-рые наз. также однородными Координатами точек) введено отношение эквивалентности слева (справа): х~у, если существует [img: http://localhost:8080/file/041753-1.jpg] такое, что х i=l у i (х i=у il), i=0,..., n. Тогда совокупность классов эквивалентности находится во взаимно однозначном соответствии с совокупностью точек [img: http://localhost:8080/file/041753-2.jpg] проективного пространства [img: http://localhost:8080/file/041753-3.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041753-4.jpg] интерпретируется как множество прямых левого (правого) векторного пространства [img: http://localhost:8080/file/041753-5.jpg], то однородные координаты точки Мимеют смысл координат векторов, принадлежащих прямой l, представляющей эту точку, а П. к.- совокупности всех таких координат. В общем случае П. к. точек проективного пространства ПД относительно нек-рого базиса вводятся чисто проективными средствами (при обязательном выполнении в П n Дезарга предложения).следующим образом. Множество sn(n+1) независимых точек А 0,..., А п пространства П n наз. симплексом, при этом точки А 0,..., А i-1, Ai+t,..., А п также независимы и определяют-век-рое подпространство Sn-1=Si, наз. гранью этого симплекса. Существует нрк-рая точка Е, не лежащая ни на одной из граней Si. Пусть i0, i1,..., in- любая перестановка чисел О, 1,..., п. Точки [img: http://localhost:8080/file/041753-6.jpg], и Еоказываются независимыми и определяют нек-рое Sn-k. Далее, точки [img: http://localhost:8080/file/041753-7.jpg] определяют тоже нек-рое Sk, а так как суммой Sk и Sn-k является все пространство П n, то Sk и Sn-k имеют в точности одну общую точку Е i0...ik не лежащую ни в одном из (k-1)-мерных подпространств, определяемых точками [img: http://localhost:8080/file/041753-8.jpg] при этом [img: http://localhost:8080/file/041753-9.jpg] также независимы. Таким образом получается 2n+1-1 точек [img: http://localhost:8080/file/041753-10.jpg], включая точки Ei=Ai и Е 0...п=Е, к-рые и образуют репер пространства Sn=П n; симплекс sn является его остовом. На каждой прямой AiAj имеются три точки Ai, Aj, Eij, пусть они играют роль точек О, U, К в определении тела Крассматриваемой проективной геометрии (см. Проективная алгебра). Тела К(А i, Е ij, Aj).и К(А k, Е kl, А l) изоморфны друг другу, причем изоморфизм устанавливается проективным соответствием [img: http://localhost:8080/file/041753-11.jpg] между точками двух прямых AiAj и AkAl таким, что точки А k, Ekl, Al отвечают точкам А i, Eij, Aj. Элемент тела К, соответствующий точке Рпрямой AiAj, наз. проективной координатой р точки Рв шкале ((А i, Е ij, Aj). В частности, П. к. Е ij всегда равна 1, а П. к. Рв шкале ((А j, Е ij, Ai).есть p* = р -1. Пусть Р - точка пространства, не лежащая ни на одной из граней симплекса sn: А 0,..., А n, обращающего вместе с нек-рой точкой Ерепер R. Если использовать точку P вместо Ев вышеприведенной конструкции репера, то получится последовательность точек Р i, Р ij, Pijk,..., где [img: http://localhost:8080/file/041753-12.jpg] лежит в подпространстве, определяемом [img: http://localhost:8080/file/041753-13.jpg] (но не лежит ни в одной из гра ней симплекса sk, образованного этими точками). Пусть Р ij - координата точки Р ij (лежащей на А i А j).в шкале (А i, Е ij, Aj). Тогда если i, j, k попарно различны, то [img: http://localhost:8080/file/041753-14.jpg] Пусть x0 - произвольный элемент К, отличный от нуля, а [img: http://localhost:8080/file/041753-15.jpg] (при этом оказывается, что [img: http://localhost:8080/file/041753-16.jpg]). Тогда совокупность эквивалентных между собой строк, определяемых различными элементами х 0, и дает П. к. точки Ротносительно репера R. Пусть Рлежит в подпространстве Sk, определяемом точками [img: http://localhost:8080/file/041753-17.jpg], но не лежит ни в одной из граней симплекса, определяемого этими точками. Пусть совокупность эквивалентных строк [img: http://localhost:8080/file/041753-18.jpg] является П. к. точки Ротносительно репера Rподпространства Sk, определяемого симплексом sk и точкой Ei0...ik. Тогда П. к. точки Ротносительно репера Rзадаются следующим образом: yi=xi, i=i0,..., ik; yi=0, i [img: http://localhost:8080/file/041753-19.jpg] i0,..., ik. Любая совокупность эквивалентных между собой слева (справа) (n+1) строк, построенная вышеизложенным способом, соответствует одной и только одной точке Рпространства ПД и определяет поэтому в нем П. к.