Проекционные методы

методы отыскания приближенного решения операторного уравнения в заданном подпространстве, основанные на проектировании уравнения на нек-рое (вообще говоря, другое) подпространство. П. м. являются основой построения различных вычислительных схем решения краевых задач, в том числе метода конечных элементов и метода коллокации. Пусть L- оператор, область определения D(L).к-рого лежит в банаховом пространстве X, а область значений R(L) - в банаховом пространстве Y. Для решения уравнения Lx = y(1) проекционным методом выбирают две последовательности подпространств { Х п}и {Yn}, [img: http://localhost:8080/file/041753-97.jpg] а также проекторы Р п, проектирующие Yна Yn. Уравнение (1) заменяется приближенным [img: http://localhost:8080/file/041753-98.jpg] (2) В случае X=Y, Xn=Yn, n=1; 2,... П. м. (2) принято называть методом Галерки на (иногда последний метод трактуется более широко, см. Галер-кина метод). Имеет место теорема сходимости П. м. для линейных уравнений (для случая конечномерных подпространств Х n и Yn). Пусть Lлинеен и переводит D (L).на R(L).взаимно однозначно, причем D(L).и R(L).плотны в Х и Y соответственно; подпространства Х п и Yn конечномерны, dimXn=dim Yn, n=1, 2,..., а проекторы Р п ограничены равномерно по п, то есть || Р n|| [img: http://localhost:8080/file/041753-99.jpg] c=const, n=1, 2,... Тогда следующее условие а) равносильно набору условий б) и в): а) начиная с нек-рого п= п 0 существует единственное решение х п уравнения (2) и ||Lxn-y|| [img: http://localhost:8080/file/041753-100.jpg].0 при любом [img: http://localhost:8080/file/041753-101.jpg]; б) последовательность подпространств LХ п предельно плотна в Y, т. е. расстояние d(y, LХ n). [img: http://localhost:8080/file/041753-102.jpg] О при [img: http://localhost:8080/file/041753-103.jpg] для [img: http://localhost:8080/file/041753-104.jpg]; в) [img: http://localhost:8080/file/041753-105.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041753-106.jpg]. Быстрота сходимости при соблюдении условий б) и в) характеризуется неравенством [img: http://localhost:8080/file/041753-107.jpg] (3) В случае, когда пространства Xи Y гильбертовы, а Р п и Qn - ортопроекторы, проектирующие Y соответственно на Yn и LXn, условие в) равносильно условию в') [img: http://localhost:8080/file/041753-108.jpg], где qn=|| Р n-Qn|| - раствор подпространств Yn и LXn;вместо (3) получается оценка [img: http://localhost:8080/file/041753-109.jpg] В случае Yn=LXn (метод наименьших квадратов) qn=0, n=1, 2,..., и критерием сходимости является условие б). Теорема дает условие сходимости невязки ||L х п -у||. Если L-1 ограничен и [img: http://localhost:8080/file/041753-110.jpg], то из сходимости невязки следует сходимость самих приближении х п к решению x=L-1y у равнения (1). Из теоремы можно извлечь удобный критерий сходимости метода Галеркина; для метода Галеркина - Петрова следует дополнительно наложить условие типа в'). Пусть l - линейная ограниченная форма, а а - билинейная ограниченная форма на действительном гильбертовом пространстве Н(или полуторалинейная в случае комплексного Н). Допускается, что апредставима в виде [img: http://localhost:8080/file/041753-111.jpg], так что [img: http://localhost:8080/file/041753-112.jpg] а билинейная форма bвполне непрерывна, т. е. слабые сходимости [img: http://localhost:8080/file/041753-113.jpg] в Нвлекут за собой сходимость [img: http://localhost:8080/file/041753-114.jpg] (симметричность форм а, [img: http://localhost:8080/file/041753-115.jpg] не обязательна). Пусть поставлена задача: найти [img: http://localhost:8080/file/041753-116.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/041753-117.jpg]. (4) Метод Галеркина решения задачи (4) заключается в следующем. Выбирают какие-нибудь (замкнутые) подпространства [img: http://localhost:8080/file/041753-118.jpg], n=1, 2,..., и находят [img: http://localhost:8080/file/041753-119.jpg] такое, что [img: http://localhost:8080/file/041753-120.jpg] (5) Имеет место следующая теорема: пусть {Hn} предельно плотна в H, выполнены наложенные выше на аусловия, и задача (4) имеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/041753-121.jpg] (равносильное условие: однородная задача отыскания ииз условия [img: http://localhost:8080/file/041753-122.jpg] имеет лишь тривиальное решение u=0); тогда задача (5) при всех достаточно больших пимеет единственное решение [img: http://localhost:8080/file/041753-123.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041753-124.jpg] с оценкой [img: http://localhost:8080/file/041753-125.jpg] где О п - ортопроектор, проектирующий Нна Hn, с=const. В применении к краевым задачам для уравнений эллиптич. типа в качестве Н, как правило, выбирается энергетич. пространство главной части соответствующего дифференциального оператора.