Производящий оператор

полугруппы - производная в нуле от полугруппы линейных ограниченных операторов [img: http://localhost:8080/file/041754-12.jpg], действующих в комплексном банаховом пространстве X. Если T(t).непрерывна по норме операторов, то она имеет вид T(t)= е tA0, где А 0 - ограниченный оператор, [img: http://localhost:8080/file/041754-13.jpg] (1) при любом [img: http://localhost:8080/file/041754-14.jpg] и А 0 есть П. о. T(t). Обратно, если предел слева существует при всех [img: http://localhost:8080/file/041754-15.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041754-16.jpg]. Более сложная картина возникает, когда Т(t).только сильно непрерывная полугруппа. В этом случае предел (1) существует не при всех х. Оператор А 0, определенный на линейном множестве D(A0).всех тех х, для к-рых предел существует, является линейным неограниченным оператором и наз. инфинитезимальным оператором. В частности, A0 определен на всех элементах вида [img: http://localhost:8080/file/041754-17.jpg]. Если обозначить через Х 0 замыкание объединения областей значений всех операторов Т(t), t>0, то D(А 0).плотно в Х 0 и, более того, [img: http://localhost:8080/file/041754-18.jpg] плотно в Х 0. Все значения оператора А 0 также лежат в Х 0. Если оператор А 0 неограничен, то D(A0).является множеством первой категории в Х 0. Если в Х 0 нет элементов х, на к-рых [img: http://localhost:8080/file/041754-19.jpg], то оператор А 0 допускает замыкание [img: http://localhost:8080/file/041754-20.jpg], к-рое и наз. производящим оператором полугруппы Т(t). В этом случае при [img: http://localhost:8080/file/041754-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041754-22.jpg] (2) Равенство (2) определяет замкнутый оператор А, к-рый, вообще говоря, шире, чем замыкание А 0. Его иногда наз. обобщенным производящим оператором полугруппы Т(t). На множестве DR тех же [img: http://localhost:8080/file/041754-23.jpg], для к-рых сходится несобственный интеграл [img: http://localhost:8080/file/041754-24.jpg] (3) определен оператор [img: http://localhost:8080/file/041754-25.jpg] при Re l>w, где w - тип полугруппы Т(t). Этот оператор обладает свойствами: [img: http://localhost:8080/file/041754-26.jpg] Если интеграл (3) абсолютно сходится при любом [img: http://localhost:8080/file/041754-27.jpg], то П. о. Асуществует тогда и только тогда, когда из [img: http://localhost:8080/file/041754-28.jpg], следует х=0;оператор R (l) ограничей, и, если Х 0=Х, он совпадает о резольвентой оператора А; для того чтобы А 0 был замкнутым (А = А 0), необходимо и достаточно, чтобы [img: http://localhost:8080/file/041754-29.jpg] при любом [img: http://localhost:8080/file/041754-30.jpg]. Основной задачей теории полугрупп операторов является установление связи между свойствами полугрупп и свойствами их П. о., причем последние обычно формулируются в терминах операторов R(l).