Проконечная группа

топологическая группа, являющаяся проективным пределом системы конечных групп [img: http://localhost:8080/file/041754-40.jpg], снабженных дискретной топологией (I - предупорядоченное множество). П. г. Gобозначается [img: http://localhost:8080/file/041754-41.jpg]. Как подпространство прямого произведения [img: http://localhost:8080/file/041754-42.jpg], снабженного компактной топологией (базой окрестностей единицы является система ядер проекций [img: http://localhost:8080/file/041754-43.jpg]), она замкнута и потому компактна. Примеры. 1) Пусть I - множество целых чисел, больших нуля, с естественным отношением порядка и [img: http://localhost:8080/file/041754-44.jpg]. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041754-45.jpg] - естественный эпиморфизм и [img: http://localhost:8080/file/041754-46.jpg] для любых i<j. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041754-47.jpg] -(аддитивная) группа кольца [img: http://localhost:8080/file/041754-48.jpg] целых р-адических чисел. 2) Всякая компактная аналитич. руппа над полем р-адических чисел (напр., [img: http://localhost:8080/file/041754-49.jpg]) является (как топологич. группа) П. г. 3) Пусть G - абстрактная группа и [img: http://localhost:8080/file/041754-50.jpg] - семейство всех ее нормальных делителей конечного индекса. На I можно ввести отношение [img: http://localhost:8080/file/041754-51.jpg], положив [img: http://localhost:8080/file/041754-52.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041754-53.jpg]. Это отношение превращает I в предупорядоченное множество. Сопоставляя каждому [img: http://localhost:8080/file/041754-54.jpg] группу G/Hi и каждой паре [img: http://localhost:8080/file/041754-55.jpg] из I - естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041754-56.jpg], получают П. г. [img: http://localhost:8080/file/041754-57.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041754-58.jpg], наз. ассоциированной с GП. г.; она является отделимым пополнением группы Gотносительно топологии, определенной подгруппами конечного индекса. Ядро естественного гомоморфизма [img: http://localhost:8080/file/041754-59.jpg] является пересечением всех подгрупп конечного индекса. В этой конструкции можно было бы вместо семейства всех нормальных делителей конечного индекса рассматривать лишь те, индекс к-рых есть степень фиксированного простого числа р. Соответствующая группа обозначается [img: http://localhost:8080/file/041754-60.jpg] и является про-р-группой. 4) П. г. следующим образом естественно возникают в теории Галуа (вообще говоря, бесконечных) алгебраич. расширений полей. Пусть K/k - Галуа расширение и [img: http://localhost:8080/file/041754-61.jpg] - семейство всех конечных расширений Галуа поля k, лежащих в К. Тогда [img: http://localhost:8080/file/041754-62.jpg]. На I можно ввести отношение [img: http://localhost:8080/file/041754-63.jpg], положив [img: http://localhost:8080/file/041754-64.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041754-65.jpg]. Тогда I становится предупорядоченным множеством. Пусть GalKi/k- группа Галуа расширений Ki/k. Каждой паре [img: http://localhost:8080/file/041754-66.jpg] из I сопоставляется естественный гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041754-67.jpg] Тогда соответствующая П. г. [img: http://localhost:8080/file/041754-68.jpg] (абстрактно) изоморфна группе Gal K/k, что позволяет считать Gal K/k П. г. Система подгрупп Gal K/Ki образует в Gal K/k систему окрестностей единицы (см. Галуа топологическая группа). Эта конструкция получает обобщение в алгебраич. геометрии при определении фундаментальной группы схемы. П. г. могут быть охарактеризованы как компактные вполне несвязные группы (см. Компактная группа), а также как компактные группы, у к-рых имеется множество открытых нормальных делителей, образующее систему окрестностей единицы. Теория когомологий П. г. (см. Когомологии групп, Галуа когомологий).играет важную роль в современной теории Галуа.