Простой итерации метод

метод приближенного решения системы линейных алгебраич. уравнений Ах=b, к-рая преобразуется к виду х=Вх+с и решение к-рой находится как предел последовательности xk+1=Bxk+c, k=0, 1,..., где х 0 - начальное приближение. Для сходимости П. и. м. при любом начальном приближении х 0 необходимо и достаточно, чтобы все собственные значения матрицы Вбыли по модулю меньше единицы; и достаточно, чтобы какая-либо норма матрицы Вбыла меньше единицы. Если для нормы матрицы В, согласованной с нормой вектора х, имеет Место оценка [img: http://localhost:8080/file/041755-67.jpg], то П. и. м. сходится со скоростью геометрич. прогрессии и для погрешности метода верна оценка [img: http://localhost:8080/file/041755-68.jpg] Для случая кубической, октаэдрической и сферической векторных норм условие [img: http://localhost:8080/file/041755-69.jpg] будет выполнено, если имеют место оценки: [img: http://localhost:8080/file/041755-70.jpg] Простейший вариант метода соответствует случаю, когда в качестве матрицы Ввыбирают матрицу E-А, где Е - единичная матрица. Если все диагональные элементы матрицы Аотличны от нуля, то, выбирая b=D-1(D-А).и c=D-1b, где D-диагональная матрица, диагональные элементы к-рой совпадают с диагональными элементами матрицы А, получают Якоби метод или метод одновременных смещений. Частным случаем П. и. м. является метод В=Е-tA и с=tb, где т - итерационный параметр, к-рый выбирается из условия минимума по t нормы матрицы Е-t А. Если g1 и g2 - минимальное и максимальное собственные значения симметричной положительно определенной матрицы А, то при [img: http://localhost:8080/file/041755-71.jpg] для сферич. нормы матрицы Вимеет место оценка [img: http://localhost:8080/file/041755-72.jpg], где Для [img: http://localhost:8080/file/041755-73.jpg] нелинейной системы алгебраич. уравнений [img: http://localhost:8080/file/041755-74.jpg] П. и. м. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041755-75.jpg] Вопрос о выборе итерационного параметра т решается в зависимости от дифференциальных свойств функций <Pi(z). Часто он подчинен требованию локальной сходимости метода в окрестности решения.