Пространство над алгеброй

- пространство, обладающее дифференциально-геометрической структурой, точки к-рого могут быть снабжены координатами из нек-рой алгебры. В большинстве случаев алгебра предполагается ассоциативной с единицей, иногда - альтернативной с единицей (см. Ассоциативные кольца и алгебры, Альтернативные кольца и алгебры). Для построения широкого класса П. н. а. можно исходить из понятия унитарного модуля над алгеброй, определение к-рого получается из определения векторного пространства над телом путем замены тела на ассоциативную алгебру с единицей (см. [1], [3]). В результате присоединения к элементам модуля, называемым векторами, новых элементов, называемых точками, связанных с векторами теми же аксиомами, что и точки аффинного пространства с его векторами, получается аффинное пространство над ассоциативной алгеброй с единицей. Аффинные преобразования в аффинном пространстве над алгеброй имеют в координатах вид [img: http://localhost:8080/file/041756-30.jpg] где f(x) - непрерывный автоморфизм алгебры, n-мерное аффинное пространство над алгеброй, имеющей ранг r над нек-рым полем, допускает естественную модель (представление) в nr -мерном аффинном пространстве над тем же полем. В этой модели каждая точка аффинного пространства над алгеброй изображается точкой nr -мерного аффинного пространства над рассматриваемым полем, координатами к-рой являются коэффициенты разложений координат точек пространства над алгеброй по базисным элементам алгебры. В случае, когда базисные элементы eA, А=1,..., r, алгебры связаны между собой структурными уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041756-31.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041756-32.jpg] - структурные константы алгебры, каждому базисному элементу e А соответствует в модели линейное преобразование с матрицей [img: http://localhost:8080/file/041756-33.jpg] (*) где по диагонали стоят n одинаковых r-мерных блоков [img: http://localhost:8080/file/041756-34.jpg]. В аффинных пространствах над алгебрами можно задать эрмитову метрику (евклидову и псевдоевклидову), а в случае коммутативных алгебр и квадратичную (евклидову и псевдоевклидову) метрику. Для этого в унитарном модуле определяется скалярное произведение векторов (а, b), в первом случае обладающее свойством (а, b) = (b, а)I, где I - инволютивный антиавтоморфизм (инволюция) в алгебре, а во втором случае - свойством (а, b) =(b, а). Скалярный квадрат вектора [img: http://localhost:8080/file/041756-35.jpg] определяет метрич. инварианты пары точек Аи В;движения евклидовых и псевдоевклидовых пространств - аффинные преобразования, сохраняющие скалярное произведение векторов. При замене в определении эллиптических и гиперболических П. н. а. скалярного произведения векторов скалярным произведением векторов (x, у), для к-рого (x, у)=-(у, x)I или (x, у)=-(у, x), получается эрмитово, или квадратичное симплектическое, П. н. а. Многообразие одномерных подмодулей (n+1)-мерного унитарного модуля над алгеброй Кназ. n-мерным проективным пространством над алгеброй К;точками этого пространства наз. одномерные подмодули, а координаты векторов этих подмодулей наз. проективными координатами точек. В проективном П. н. а. определяются так же, как в проективных пространствах над полями, коллинеации и корреляции. В проективных координатах коллинеации имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041756-36.jpg] где f(х) - непрерывный автоморфизм алгебры, а корреляции имеют вид [img: http://localhost:8080/file/041756-37.jpg] где f(x) - непрерывный антиавтоморфизм алгебры, а и i - проективные координаты гиперплоскости. Введение скалярного произведения векторов в унитарном модуле позволяет определить в проективном пространстве, построенном с помощью этого модуля, эрмитовы или, в случае коммутативной алгебры, квадратичные эллиптические и гиперболич. метрики. Метрич. инварианты точек этих пространств определяются скалярными произведениями векторов x и y соответствующих подмодулей с помощью двойного отношения [img: http://localhost:8080/file/041756-38.jpg] В том случае, когда W - действительное число, инвариант w, для к-рого W=cos2w, наз. расстоянием между соответствующими точками (см. [2]). Проективные, эллиптические, гиперболические и симплектич. пространства над действительными простыми алгебрами (напр., алгебрами действительных, комплексных и кватернионных матриц) обладают тем свойством, что их фундаментальные группы являются простыми группами Ли бесконечных серий. Евклидовы, псевдоевклйдовы и квазиэллиптические, квазигиперболические и квазисимплектич. пространства над теми же алгебрами обладают тем свойством, что их фундаментальные группы являются квазипростыми группами Ли тех же серий (см. [2J); тем же свойством обладают проективные, эллиптические, гиперболические и симплектич. пространства над полупростыми алгебрами, к к-рым относится алгебра дуальных чисел. Несколько сложнее определяются проективные и эрмитовы (эллиптические и гиперболические) плоскости над альтернативными алгебрами. Фундаментальные группы этих плоскостей являются простыми или квазипростыми группами Ли нек-рых особых классов.