Пространство с индефинитной метрикой

G-пространство,- пара объектов (E, G), из к-рых первый есть векторное пространство Енад полем комплексных чисел, а второй есть билинейная (точнее, полуторалинейная) форма Gнад Е;эта форма наз. также G - метрикой. Если G- положительно определенная (т. н. дефинитная) форма, то Gесть скалярное произведение в E, и с помощью G можно канонич. способом (см., напр., Гильбертово пространство с индефинитной метрикой).ввести норму и расстояние (т. е. обычную метрику) для элементов из Е. В случае общей полуторалинейной формы нет норм или метрик, канонически связанных с G, и термин "G-метрика" лишь напоминает о тесной связи дефинитных полуторалинейных форм с нек-рыми метриками в векторных пространствах. Теория конечномерных пространств с индефинитной метрикой, наз. чаще билинейно метрич. пространствами или пространствами с билинейной метрикой, разработана еще Г. Фробениусом и излагается в курсах линейной алгебры (см. [1]). Основной целью общей теории П. с и. м. является выделение и исследование сравнительно простых, но важных для приложений классов несамосопряженных операторов в гильбертовом пространство. П. с и, м. впервые введены Л. С. Понтрягиным [2] (подробнее см. Понтрягина пространство). Теория П. с и. м. развивается по Двум направлениям - геометрия этих пространств и линейные операторы в них. Геометрия общих П. с и. м. в основном исследует: а) связь G-метрики с различными топологиями на Е; б) классификацию векторных подпространств (линеалов) в Е относительно G-метрики (особенно т. н. дефинитных подпространств; см. ниже); в) свойства G-пpoектирования; г) базисы G-пространств. В случае эрмитовой G-метрики (G э -метрики), т. е. такой, что [img: http://localhost:8080/file/041756-43.jpg] для всех [img: http://localhost:8080/file/041756-44.jpg], важнейшими понятиями и результатами геометрии П. с п. м. являются следующие. Пусть каждому вектору [img: http://localhost:8080/file/041756-45.jpg] поставлен в соответствие линейный функционал [img: http://localhost:8080/file/041756-46.jpg]. Топология t на Еназ. подчиняющей G - метрику, если функционал G у непрерывен в t для всех [img: http://localhost:8080/file/041756-47.jpg]; топология t наз. согласующейся с G-метрикой, если она подчиняет G и каждый t-непрерывный функционал имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041756-48.jpg]. В пространстве Е с индефинитной метрикой можно задать не более одной топологии Фреше, подчиняющей G, и, однако, не каждая G-метрика допускает такую топологию (см. [4]). Если подчиняющая G-метрику топология является предгильбертовой топологией на Еи задается в Ескалярным произведением [img: http://localhost:8080/file/041756-49.jpg], то форма H наз. эрмитово неотрицательной мажорантой формы G; в этом случае [img: http://localhost:8080/file/041756-50.jpg] После пополнения по H-норме получается гильбертово пространство с индефинитной метрикой [img: http://localhost:8080/file/041756-51.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041756-52.jpg] - продолжение G по непрерывности на все пространство [img: http://localhost:8080/file/041756-53.jpg]. При этом метрика [img: http://localhost:8080/file/041756-54.jpg] может оказаться вырожденной, даже если G - невырожденная метрика. Этого вырождения не происходит, если метрика G невырождена и наибольшая из размерностей у. положительных подпространств в Еконечна. В последнем случае получается пространство Понтря-гина [img: http://localhost:8080/file/041756-55.jpg]. Подпространство Lв пространстве (Е, G) с индефинитной метрикой наз. положительным подпространством, отрицательным подпространством (общее название - дефинитным подпространством) или нейтральным подпространством, в зависимости от того, будет ли G(x,z)>0, G(x, x)<0 или G(x, x)=0 для любого [img: http://localhost:8080/file/041756-56.jpg]; подпространство максимально положительно, если оно положительно и не может быть расширено с сохранением этого свойства. Всякое подпространство одного из названных типов содержится в максимальном подпространстве того же типа. Важную роль в классификации подпространств в пространствах с индефинитной метрикой играют понятия канонического разложения и G-ортогонального проектирования. Вектор [img: http://localhost:8080/file/041756-57.jpg] наз. G-oртогональным к подпространству [img: http://localhost:8080/file/041756-58.jpg] ([img: http://localhost:8080/file/041756-59.jpg] изотропным подпространством относительно L), если G(x, у)=0 для любого [img: http://localhost:8080/file/041756-60.jpg]. Подпространство Lназ. вырожденным, если оно содержит хотя бы один ненулевой вектор, изотропный относительно L. Если L - подпространство в пространстве Ес индефинитной метрикой, то [img: http://localhost:8080/file/041756-61.jpg] - его G-oртогональное дополнение. Всегда L "=Lt, где t - любая топология, согласующаяся с G. G-ортогональное дополнение L' вырожденного векторного подпространства Lявляется вырожденным векторным подпространством, замкнутым относительно любой топологии t, согласующейся с G, а [img: http://localhost:8080/file/041756-62.jpg] есть векторное подпространство изотропных элементов. Подпространство Lназ. проекционно полным, если каждый вектор [img: http://localhost:8080/file/041756-63.jpg] имеет G- проекцию на L, т. е. существует такое [img: http://localhost:8080/file/041756-64.jpg], что G(x, у-у 0)=0 для каждого [img: http://localhost:8080/file/041756-65.jpg]. Единственность G- проекции на L равносильна невырожденности подпространства L,aее существование зависит от непрерывности функционала Gy в топологиях на L, согласующихся с G. Если Ми N являются G- ортогональными подпространствами и M+N=E, to М и N проенционно полны; если L - проекционно полное подпространство, то L+L'=E, причем сумма есть прямая сумма, если Е - невырожденное пространство с индефинитной метрикой. Пусть L- дефинитное подпространство в пространстве с индефинитной метрикой E;оно наа. регулярным, если каждый функционал [img: http://localhost:8080/file/041756-66.jpg], непрерывен на L в норме ||x||G=|G(x, x)|1/2. В противном случае оно наз. сингулярным. Всякое невырожденное бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой содержит сингулярные подпространства. Дефинитное подпространство Lпроекционно полно в том и только в том случае, если оно регулярно и если для любого [img: http://localhost:8080/file/041756-67.jpg] найдется такой вектор [img: http://localhost:8080/file/041756-68.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041756-69.jpg] Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой изучались в основном в гильбертовых пространствах с индефинитной метрикой; имеется обзор банаховых аналогов (см. [8]). Как и в случае гильбертовых пространств с индефинитной метрикой, важным инструментом изучения геометрии П. с и. м. и линейных операторов в пространствах (Е, G), наделенных нек-рой топологией, согласованной с G, являются так наз. G-oртонормированные базисы в Е, т. е. такие базисы {е п} топологического векторного пространства Е, что (Gek, en)= + dkn; k, n=1, 2,... (см. [4]).