Прямое произведение

- одна из основных общематематич. конструкций, идея к-рой принадлежит Декарту; поэтому П. п. наз. также декартовым произведением. П. п., или просто произведением, двух непустых множеств X и Y наз. множество [img: http://localhost:8080/file/041757-20.jpg], состоящее из всех упорядоченных пар вида (х, у), где [img: http://localhost:8080/file/041757-21.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041757-22.jpg] Если одно из множеств Xили Y пусто, то произведение пусто. Множество [img: http://localhost:8080/file/041757-23.jpg] можно отождествить с множеством функций, определенных на двухэлементном множестве {1, 2} и принимающих значения в множестве Xпри значении аргумента, равном 1, и в множестве Yпри значении аргумента, равном 2. Это отождествление позволяет распространить определение П. п. на случай любого количества множителей. Пусть I - нек-рое множество индексов и пусть Xi - произвольное семейство множеств, заиндексированных элементами множества I. П. п. семейства множеств [img: http://localhost:8080/file/041757-24.jpg] наз. множество таких функций [img: http://localhost:8080/file/041757-25.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041757-26.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041757-27.jpg] для каждого [img: http://localhost:8080/file/041757-28.jpg]. Обычно П. п. обозначается [img: http://localhost:8080/file/041757-29.jpg]; для конечного множества индексов I= {1,..., п}используются также обозначения [img: http://localhost:8080/file/041757-30.jpg] или [img: http://localhost:8080/file/041757-31.jpg]. Если I состоит из одного элемента 1, то [img: http://localhost:8080/file/041757-32.jpg]. Иногда П. п. конечного числа множителей определяется индуктивно: [img: http://localhost:8080/file/041757-33.jpg] Значение конструкции П. п. определяется прежде всего тем, что в нем естественно вводится дополнительная структура, если все множители являются однотипными математич. структурами. Напр., пусть Xi, [img: http://localhost:8080/file/041757-34.jpg],- однотипные алгебраич. системы, т. е. множества с общей сигнатурой конечноместных предикатов и операций. Тогда произведение [img: http://localhost:8080/file/041757-35.jpg] превращается в алгебраич. систему с той же сигнатурой: для функций [img: http://localhost:8080/file/041757-36.jpg] и n-арной операции w действие функции f1...fnw на элемент iопределяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041757-37.jpg] значение предиката Р(f1,..., fn) истинно, если для любого [img: http://localhost:8080/file/041757-38.jpg] истинно значение P(f1(i),..., fn(i)). При этом выполнение во всех Xi определенных тождеств влечет за собой их выполнение в произведении. Поэтому П. п. полугрупп, групп, колец, векторных пространств и т. п. снова являются полугруппами, группами, кольцами, векторными пространствами соответственно. Для любого множителя П. п. [img: http://localhost:8080/file/041757-39.jpg] существует естественная проекция [img: http://localhost:8080/file/041757-40.jpg], определяемая равенством fpi=f(i). Множество Xи семейство проекций [img: http://localhost:8080/file/041757-41.jpg], обладают следующим универсальным свойством: для любого семейства отображений [img: http://localhost:8080/file/041757-42.jpg] существует такое однозначно определенное отображение [img: http://localhost:8080/file/041757-43.jpg], что gi=hpi для каждого [img: http://localhost:8080/file/041757-44.jpg]. Это свойство сохраняется в случае, когда все Xi - однотипные алгебраич. системы, и позволяет определить подходящую топологич. структуру П. п. топологич. пространств. Сформулированное свойство лежит в основе определения произведения объектов категории. Многие задачи математики связаны с описанием математич. объектов, неразложимых в П. п., и с выяснением условий, при к-рых множители произведения определены однозначно с точностью до изоморфизма. Классич. результатами здесь являются теорема о строении конечно порожденных модулей над кольцом главных идеалов и теорема Ремака - Шмидта о центральном изоморфизме прямых разложений групп с главным рядом. П. п. иногда наз. полным прямым произведением в отличие от дискретного прямого произведения (или прямой суммы), к-рое определяется в тех случаях, когда дополнительная структура в множителях позволяет выделить одноэлементные подструктуры (напр., единичные подгруппы, нулевые подпространства и т. п.). Как правило, П. п. конечного числа множителей совпадает с дискретным произведением. М. Ш. Цаленко.