Псевдобулева алгебра

решетка L=(L, [img: http://localhost:8080/file/041757-53.jpg]), содержащая наименьший элемент 0 и такая, что для любых ее элементов а и b во множестве [img: http://localhost:8080/file/041757-54.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041757-55.jpg] существует наибольший элемент [img: http://localhost:8080/file/041757-56.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041757-57.jpg] - наибольшая нижняя грань для аи х. Элемент [img: http://localhost:8080/file/041757-58.jpg] нал. псевдодополнением аотносительно b, или импликацией от а к b. Всякая П. а. является дистрибутивной решеткой с наибольшим элементом 1 (таковым будет любой элемент вида [img: http://localhost:8080/file/041757-59.jpg]). П. а. служат алгебраич. моделями интуиционистского исчисления высказываний Гейтинга и характеризуют его аналогично тому, как булевы алгебры характеризуют классич. исчисление высказываний. П. а. наз. также алгебрами Гейтинга. Решетки с относительным псевдодополнением рассматривал еще в 1919 Т. Сколем [1], правда без связи с логикой. Впервые такая связь появилась при рассмотрении решеток, двойственных П. а. (т. е. решеток, получающихся из П. а. обращением отношения [img: http://localhost:8080/file/041757-60.jpg]; см. [2]). Такие решетки были названы алгебрами Брауэра. Позднее алгебрами Брауэра стали называть и П. а. Класс П. а., рассматриваемых как универсальные алгебры, [img: http://localhost:8080/file/041757-61.jpg] с константой 0 и двуместными операциями [img: http://localhost:8080/file/041757-62.jpg] может быть задан с помощью нек-poй системы тождеств. Конгруэнция [img: http://localhost:8080/file/041757-63.jpg] универсальной алгебры (L; 0, [img: http://localhost:8080/file/041757-64.jpg]), являющейся П. а., полностью определяется классом эквивалентности, содержащим 1, т. е. множеством [img: http://localhost:8080/file/041757-65.jpg] (1) по формуле [img: http://localhost:8080/file/041757-66.jpg] (2) Множество (1) является решеточным фильтром, т. е. удовлетворяет условиям [img: http://localhost:8080/file/041757-67.jpg] Наоборот, всякий непустой решеточный фильтр [img: http://localhost:8080/file/041757-68.jpg] произвольной П. а. L определяет по формуле (2) конгруэнцию на алгебре [img: http://localhost:8080/file/041757-69.jpg], класс эквивалентности единицы к-рой совпадает с исходным фильтром [img: http://localhost:8080/file/041757-70.jpg]. В П. а. [img: http://localhost:8080/file/041757-71.jpg] выполняется также бесконечный дистрибутивный закон [img: http://localhost:8080/file/041757-72.jpg] (3) для любого [img: http://localhost:8080/file/041757-73.jpg] и любого множества [img: http://localhost:8080/file/041757-74.jpg], имеющего в Lнаименьшую верхнюю грань sup X. Если решетка [img: http://localhost:8080/file/041757-75.jpg] полна, т. е. sup Xсуществует для любого [img: http://localhost:8080/file/041757-76.jpg] то, наоборот, из того, что в ней справедливо тождество (3), вытекает, что она является П. а. Операция [img: http://localhost:8080/file/041757-77.jpg] определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041757-78.jpg] Полные П. а. (т. е. полные решетки, удовлетворяющие тождеству (3)) рассматривают как алгебры [img: http://localhost:8080/file/041757-79.jpg] с константой 0, двуместной операцией [img: http://localhost:8080/file/041757-80.jpg] и "бесконечноместной" операцией sup: [img: http://localhost:8080/file/041757-81.jpg]. Этот подход определяет для полных П. а. смысл таких понятий, как гомоморфизм, конгруэнция, подалгебра. Так, для конгруэнции [img: http://localhost:8080/file/041757-82.jpg] должно выполняться условие: если [img: http://localhost:8080/file/041757-83.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041757-84.jpg] - два подмножества в Lтаких, что для всякого [img: http://localhost:8080/file/041757-85.jpg] имеет место [img: http://localhost:8080/file/041757-86.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041757-87.jpg], sup [img: http://localhost:8080/file/041757-88.jpg]. Класс полных П. а., рассматриваемых как алгебры (L;0, [img: http://localhost:8080/file/041757-89.jpg], sup), может быть задан нек-рой системой тождеств, содержащих операций 0, [img: http://localhost:8080/file/041757-90.jpg], sup. Поэтому он замкнут относительно подалгебр, фактор-алгебр и прямых произведений семейств алгебр. В классе полных П. а. существуют свободные алгебры с любым множеством образующих. Если [img: http://localhost:8080/file/041757-91.jpg] - мультипликативный оператор замыкания на полной П. а. L=(L, [img: http://localhost:8080/file/041757-92.jpg]), т. е. такая функция, что в Lтождественно выполняются условия [img: http://localhost:8080/file/041757-93.jpg] то отношение [img: http://localhost:8080/file/041757-94.jpg] (4) является конгруэнцией на алгебре A(L;0, [img: http://localhost:8080/file/041757-95.jpg], sup), а множество [img: http://localhost:8080/file/041757-96.jpg] с индуцированным из L порядком [img: http://localhost:8080/file/041757-97.jpg] - полной П. a. (JL; [img: http://localhost:8080/file/041757-98.jpg]), изоморфной факторалгебре A/Rj. Наоборот, произвольная конгруэнция Rна А определяет по формуле [img: http://localhost:8080/file/041757-99.jpg] (5) мультипликативный оператор замыкания [img: http://localhost:8080/file/041757-100.jpg] Отображения [img: http://localhost:8080/file/041757-101.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041757-102.jpg], определяемые формулами (4) и (5), взаимнообратны. Примеры П. 2) Если функция [img: http://localhost:8080/file/041757-105.jpg] на полной П. а. (L, [img: http://localhost:8080/file/041757-106.jpg]) тождественно удовлетворяет условиям [img: http://localhost:8080/file/041757-107.jpg] (6) то множество [img: http://localhost:8080/file/041757-108.jpg] с индуцированным отношением порядка образует подалгебру алгебры (L;0, [img: http://localhost:8080/file/041757-109.jpg], sup). Всякую подалгебру [img: http://localhost:8080/file/041757-110.jpg] этой алгебры можно получить указанным способом из единственной функции I, удовлетворяющей условиям (6). Она определяется равенством [img: http://localhost:8080/file/041757-111.jpg] Функция I, удовлетворяющая условиям (6), наз. оаератором взятия внутренности. 3) Если определить на множестве Ф всех формул языка интуиционистского исчисления высказываний отношение [img: http://localhost:8080/file/041757-112.jpg] так, что [img: http://localhost:8080/file/041757-113.jpg] тогда и только тогда, когда формула [img: http://localhost:8080/file/041757-114.jpg] выводима в этом исчислении и факторизовать это множество по отношению эквивалентности [img: http://localhost:8080/file/041757-115.jpg], то получится свободная П. а.