Псевдодифференциальиый оператор

оператор, действующий в функциональных пространствах на дифференцируемом многообразии и локально по определенным правилам записываемый с помощью нек-poй функции, обычно наз. символом П. о., и удовлетворяющей оценкам производных определенного типа, аналогичных оценкам производных полиномов, являющихся символами дифференциальных операторов. Пусть W - открытое подмножество в [img: http://localhost:8080/file/041758-57.jpg] - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактные носителем, принадлежащим W. Простейший П. о. в W - это оператор [img: http://localhost:8080/file/041758-58.jpg], задаваемый формулой [img: http://localhost:8080/file/041758-59.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041758-60.jpg] - мера Лебега на [img: http://localhost:8080/file/041758-61.jpg] - обычное скалярное произведение векторов хи [img: http://localhost:8080/file/041758-62.jpg] - преобразование Фурье функции и, то есть [img: http://localhost:8080/file/041758-63.jpg] (интеграл здесь и выше берется по [img: http://localhost:8080/file/041758-64.jpg]), р(х,x) - гладкая функция на [img: http://localhost:8080/file/041758-65.jpg], удовлетворяющая нек-рым условиям и называемая символом П. о. Р. Оператор Рвида (1) обозначается также р(х, D).или р(х, Dx). Если [img: http://localhost:8080/file/041758-66.jpg] - многочлен от x с коэффициентами [img: http://localhost:8080/file/041758-67.jpg] (здесь а - мультииндекс, т. е. [img: http://localhost:8080/file/041758-68.jpg], aj - целые, [img: http://localhost:8080/file/041758-69.jpg], то р(х, D).совпадает с дифференциальным оператором, получаемым, если в выражение для р(х,x) вместо x подставить вектор [img: http://localhost:8080/file/041758-70.jpg] Часто используется класс символов [img: http://localhost:8080/file/041758-71.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041758-72.jpg], удовлетворяющих условиям [img: http://localhost:8080/file/041758-73.jpg] (2) где a, b - мультииндексы, [img: http://localhost:8080/file/041758-74.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041758-75.jpg] -компакт в W. Этот класс обозначается [img: http://localhost:8080/file/041758-76.jpg] (или Обычно [img: http://localhost:8080/file/041758-77.jpg] предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/041758-78.jpg]. Через [img: http://localhost:8080/file/041758-79.jpg] (или [img: http://localhost:8080/file/041758-80.jpg]) обозначается класс операторов (также называемых П. о. в W) вида р(х, D)+K, где [img: http://localhost:8080/file/041758-81.jpg] а К - интегральный оператор с бесконечно дифференцируемым ядром, т. е. оператор вида [img: http://localhost:8080/file/041758-82.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041758-83.jpg]. Функцию р(х,x) по-прежнему ная. символом П. о. р(х, D)+K, хотя теперь она определена уже не однозначно, а с точностью до символов, принадлежащих [img: http://localhost:8080/file/041758-84.jpg]. Оператор [img: http://localhost:8080/file/041758-85.jpg] наз. П. о. порядка не выше m и типа r, d. Описанный выше дифференциальный оператор принадлежит классу [img: http://localhost:8080/file/041758-86.jpg]. Наименьшее возможное значение тчасто ная. порядком П. о. Классы [img: http://localhost:8080/file/041758-87.jpg] часто наз. классами Хёрмандера. Можно задавать П. о. в Wс помощью двойных-символов, т. е. в виде [img: http://localhost:8080/file/041758-88.jpg] (3) При [img: http://localhost:8080/file/041758-89.jpg] эта формула переходит в (1). Обычно предполагается, что [img: http://localhost:8080/file/041758-90.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041758-91.jpg], то есть [img: http://localhost:8080/file/041758-92.jpg] (4) где [img: http://localhost:8080/file/041758-93.jpg] - компакт в W. Если [img: http://localhost:8080/file/041758-94.jpg], то построенный класс операторов вида (3) (со всевозможными функциями [img: http://localhost:8080/file/041758-95.jpg]) совпадает с классом [img: http://localhost:8080/file/041758-96.jpg]. При этом символ р(х,x) (определенный с точностью до символов из [img: http://localhost:8080/file/041758-97.jpg]) имеет следующее асимптотич. разложение: [img: http://localhost:8080/file/041758-98.jpg] где a!=a1!... an! и суммирование ведется по всем мультииндексам. Эта запись означает, что разность между р(х,x) и частью суммы, взятой по тем a, для к-рых [img: http://localhost:8080/file/041758-99.jpg], является символом, принадлежащим [img: http://localhost:8080/file/041758-100.jpg], т. е. символом, порядок к-рого не выше наибольшего из порядков оставшихся членов. П. о. Р продолжается по непрерывности или с помощью двойственности до оператора [img: http://localhost:8080/file/041758-101.jpg], где D'(W) и [img: http://localhost:8080/file/041758-102.jpg] - пространства обобщенных функций и обобщенных функций с компактным носителем в W соответственно. Если d<1, то при этом П. о. обладает следующим свойством псевдолокальности: если [img: http://localhost:8080/file/041758-103.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041758-104.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041758-105.jpg]. Другая формулировка свойства псевдолокальности: ядро К(х, у)(всмысле Шварца) оператора Рбесконечно дифференцируемо по х, у при [img: http://localhost:8080/file/041758-106.jpg] Классический П. о. порядка т. в W - П. о. [img: http://localhost:8080/file/041758-107.jpg], символ к-рого р(х,x) допускает асимптотич. разложение [img: http://localhost:8080/file/041758-108.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041758-109.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041758-110.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041758-111.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041758-112.jpg] и положительно однородна по x порядка т-j [img: http://localhost:8080/file/041758-113.jpg] Примером классического П. о. является дифференциальный оператор (с гладкими коэффициентами). Функция р т(х,x) наз. главным символом классического П. о. П. о. в W наз. собственным (или П. о. с собственным носителем, или П. о. с компактным носителем), если проекции носителя его ядра при проектировании W X W на каждый сомножитель являются собственными отображениями. Собственный П. о. Ротображает [img: http://localhost:8080/file/041758-114.jpg] в [img: http://localhost:8080/file/041758-115.jpg] и продолжается по непрерывности до отображений [img: http://localhost:8080/file/041758-116.jpg], он может быть записан в виде (1) с символом р(х,x) [img: http://localhost:8080/file/041758-117.jpg], где экспонента в скобках рассматривается как функция от х, а x является параметром. Пусть А, В- два П. о. в W, из к-рых один является собственным. Тогда имеет смысл их произведение (композиция) С=АВ. Важную роль в теории П. о. играет теорема о композиции: если [img: http://localhost:8080/file/041758-118.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041758-119.jpg]. Если при этом [img: http://localhost:8080/file/041758-120.jpg] - символы операторов С, А, В, то [img: http://localhost:8080/file/041758-121.jpg] В частности, если А, В - классические П. о. порядков m1, m2, то С- классический П. о. порядка m1+m2 с главным символом [img: http://localhost:8080/file/041758-122.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041758-123.jpg] - главные символы операторов Аи B. Если [img: http://localhost:8080/file/041758-124.jpg], то существует и единствен сопряженный [img: http://localhost:8080/file/041758-125.jpg] П. [img: http://localhost:8080/file/041758-127.jpg] Таким образом, собственные П. о. при [img: http://localhost:8080/file/041758-128.jpg] образуют алгебру с инволюцией, задаваемой переходом к сопряженному оператору. Произвольные П. о. образуют модуль над этой алгеброй. Теорема об ограниченности П. о. классов Хёрмандера в L2 -нормах в наиболее точной форме состоит в следующем (см. [8]): пусть [img: http://localhost:8080/file/041758-129.jpg], оператор Римеет вид (3) с двойным символом а(х, у,x), удовлетворяющим оценкам (4), где числа т,r, d удовлетворяют условиям [img: http://localhost:8080/file/041758-130.jpg] (5) тогда оператор Рпродолжается до ограниченного оператора [img: http://localhost:8080/file/041758-131.jpg]. В частности, при условии (5) ограничены в [img: http://localhost:8080/file/041758-132.jpg] П. о. вида (1) с символами, удовлетворяющими оценкам (2) равномерно по х (т. е. с постоянными [img: http://localhost:8080/file/041758-133.jpg], не зависящими от [img: http://localhost:8080/file/041758-134.jpg]). Отсюда следует, напр., ограниченность в [img: http://localhost:8080/file/041758-135.jpg] операторов [img: http://localhost:8080/file/041758-136.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041758-137.jpg] и ядро оператора Римеет компактный носитель (или оценки символа опять-таки равномерны по х). При r<d или при d=1 операторы такого вида уже не обязательно ограничены. Аналогично, в общей ситуации невыполнение одного из двух последних условий (5) уже дает класс П. о., содержащий неограниченные операторы. В терминах оценок символа можно дать условия ограниченности П. о. в Lp -нормах, а также в гёльдеровых и в жевреевских нормах (см. [8]). Если в Rn дан оператор Р=р(х, D), где [img: http://localhost:8080/file/041758-138.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041758-139.jpg], причем оценки (2) равномерны по [img: http://localhost:8080/file/041758-140.jpg], то этот оператор продолжается до ограниченного оператора [img: http://localhost:8080/file/041758-141.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041758-142.jpg] означает обычное пространство Соболева на [img: http://localhost:8080/file/041758-143.jpg] (иногда обозначаемое также [img: http://localhost:8080/file/041758-144.jpg]. Класс П. о. [img: http://localhost:8080/file/041758-145.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041758-146.jpg] в естественном смысле инвариантен относительно диффеоморфизмов так же, как и его подкласс классических П. о. Это позволяет определить класс П. о. [img: http://localhost:8080/file/041758-147.jpg] и классические П. о. на произвольном гладком многообразии X. Формула замены переменной в символе при диффеоморфизме [img: http://localhost:8080/file/041758-148.jpg], где W, W1 - области в X, имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041758-149.jpg] где а(х,x) - символ оператора [img: http://localhost:8080/file/041758-150.jpg] - символ оператора [img: http://localhost:8080/file/041758-151.jpg], заданного формулой [img: http://localhost:8080/file/041758-152.jpg], т. е. полученного из Азаменой переменных [img: http://localhost:8080/file/041758-153.jpg] обозначает якобиан отображения [img: http://localhost:8080/file/041758-154.jpg] - транспонированная матрица, [img: http://localhost:8080/file/041758-155.jpg] В частности, отсюда следует, что главный символ классического П. о. на многообразии Xявляется корректно определенной функцией на кокасательном расслоении Т*Х. Если X - компактное многообразие (без края), то П. о. на Xобразуют алгебру с инволюцией, если вводить инволюцию с помощью скалярного произведения, задаваемого гладкой положительной плотностью. Оператор [img: http://localhost:8080/file/041758-156.jpg] ограничен в L2(X), а если А [img: http://localhost:8080/file/041758-157.jpg], где m<0, то такой П. о. компактен в L2(X). Для классических П. о. Апорядка 0 на X [img: http://localhost:8080/file/041758-158.jpg] где а 0(х,x) - главный символ оператора А, а K пробегает множество всех компактных операторов в L2(X). Оператор [img: http://localhost:8080/file/041758-159.jpg] непрерывно отображает Hs(X).в Hs-m(X).при любом [img: http://localhost:8080/file/041758-160.jpg]. Параметриксом П. о. Аназ. такой П. о. В, что I-AB и I-ВA - П. о. порядка [img: http://localhost:8080/file/041758-161.jpg], т. е. интегральные операторы с гладким ядром. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041758-162.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041758-163.jpg] - символ оператора А. Достаточным условием существования параметрикса оператора Аявляется выполнение оценок: [img: http://localhost:8080/file/041758-164.jpg] (6) В этом случае существует параметрикс [img: http://localhost:8080/file/041758-165.jpg] Простейшим следствием существования параметрикса является гипоэллиптичность оператора А:если А [img: http://localhost:8080/file/041758-166.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041758-167.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041758-168.jpg]. Иными словами, sing supp Au=sing supp и. Верен также следующий более точный факт (теорема регулярности): если [img: http://localhost:8080/file/041758-169.jpg], то [img: http://localhost:8080/file/041758-170.jpg]. Имеет место и микролокальная теорема регулярности: WF(Au)=WF(u), где WF(u).означает волновой фронт обобщенной функции u. Условия (6) при [img: http://localhost:8080/file/041758-171.jpg] инвариантны относительно диффеоморфизмов. Поэтому имеет смысл соответствующий класс операторов на многообразии X. Если X - компактное многообразие, то такой оператор Афредгольмов в [img: http://localhost:8080/file/041758-172.jpg], т. е. имеет в [img: http://localhost:8080/file/041758-173.jpg] конечномерные ядро и коядро, а также замкнутый образ. Классический П. о. Апорядка m с главным символом а т(х,x) наз. эллиптическим, если [img: http://localhost:8080/file/041758-174.jpg] при [img: http://localhost:8080/file/041758-175.jpg]. Такой оператор удовлетворяет условиям (6) с m0=m и имеет параметрикс, также являющийся классическим П. о. порядка - m. На компактном многообразии Xтакой П. о. задает фредгольмов оператор [img: http://localhost:8080/file/041758-176.jpg] Все эти определения и факты переносятся на П. о., действующие в вектор-функциях или, более общо, в сечениях векторных расслоений. Для эллиптич. оператора на компактном многообразии Xиндекс задаваемого им отображения [img: http://localhost:8080/file/041758-177.jpg] на соболевских классах сечений не зависит от [img: http://localhost:8080/file/041758-178.jpg] и может быть явно вычислен (см. Индекса формулы). Роль П. о. состоит в том, что имеется ряд операций, выводящих за класс дифференциальных операторов, но сохраняющих класс П. о. Напр., резольвента и комплексные степени эллиптического дифференциального оператора на компактном многообразии являются классическими П. о., они возникают при сведении на границу эллиптической граничной задачи (см., напр., [7], [8] и предпоследнюю статью в [1]). Существуют разные варианты теории П. о., приспособленные к решению различных задач анализа и ма-тематич. физики. Часто возникают П. о. с параметром, необходимые, напр., для изучения резольвенты и асимптотики собственных значений. Важную роль играют различные варианты теории П. о. на Rn, учитывающие эффекты, связанные с описанием поведения функции на бесконечности, и частично инспирированные математич. вопросами квантовой механики, возникающими при изучении квантования классич. систем (см. [5], [1]). В теории локальной разрешимости уравнений с частными производными и в спектральной теории полезны П. о., поведение к-рых описывается с помощью весовых функций, заменяющих |x| в оценках типа (2) (см. [8], [14]). Построена алгебра П. о. на многообразии с краем, содержащая, в частности, параметрикс эллиптической граничной задачи (см. [3], [13]). Частным случаем П. о. являются многомерные сингулярные интегральные и интегро-дифференциальные операторы, изучение которых подготовило появление теории П. о. (см. [10]). Теория П. о. служит основой для изучения интегральных операторов Фурье (см. [7], [10]), играющих ту же роль в теории гиперболич. уравнений, что и П. о. в теории эллиптич. уравнений.