Пуанкаре двойственность

изоморфизм р-мерных групп (модулей) гомологии re-мерного многообразия М(в том числе обобщенного) с коэффициентами в локально постоянной системе [img: http://localhost:8080/file/041759-27.jpg] групп (модулей), изоморфных G, (п-р)-мерным когомологиям Мс коэффициентами в ориентирующем пучке [img: http://localhost:8080/file/041759-28.jpg] над М(слой этого пучка в точке [img: http://localhost:8080/file/041759-29.jpg] совпадает с локальной группой гомологии [img: http://localhost:8080/file/041759-30.jpg]. При этом обычные гомологии [img: http://localhost:8080/file/041759-31.jpg] изоморфны когомологиям [img: http://localhost:8080/file/041759-32.jpg], с компактными носителями (когомологиям "второго рода"), в то время как гомологии "второго рода" [img: http://localhost:8080/file/041759-33.jpg] (определяемые "бесконечными" цепями) изоморфны обычным когомологиям [img: http://localhost:8080/file/041759-34.jpg]. В более общем виде имеют место изоморфизмы [img: http://localhost:8080/file/041759-35.jpg], где Ф-любое семейство носителей. Аналогичные отождествления имеются также для гомологии и когомологий подмножеств [img: http://localhost:8080/file/041759-36.jpg] и пар (М, А).(двойственность Пуанкаре - Лефшеца). Именно, пусть А - открытое или замкнутое подпространство в Ми В=М А. Пусть Ф/В - семейство всех тех множеств из Ф, к-рые содержатся в В, и пусть [img: http://localhost:8080/file/041759-37.jpg] - семейство множеств вида [img: http://localhost:8080/file/041759-38.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041759-39.jpg]. Тогда точная последовательность гомологии пары (М, В) [img: http://localhost:8080/file/041759-40.jpg] совпадает с когомологич. последовательностью пары (М, А) [img: http://localhost:8080/file/041759-41.jpg] Группы [img: http://localhost:8080/file/041759-42.jpg] совпадают с [img: http://localhost:8080/file/041759-43.jpg] в случае, когда Ф=с, и с [img: http://localhost:8080/file/041759-44.jpg] в случае, когда Ф - семейство Vвсех замкнутых в Ммножеств, а множество Взамкнуто (в этом случае символ Ф в первой последовательности может быть опущен, причем имеет место изоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041759-45.jpg] В случае, когда Ф=Y, а Воткрыто, символ Ф можно опустить лишь во втором и третьем членах гомологич. последовательности, т. к. гомологии [img: http://localhost:8080/file/041759-46.jpg] зависят не только от топологич. пространства В, но и от вложения [img: http://localhost:8080/file/041759-47.jpg]. В случае, когда Ф=Y, этот символ (вместе с [img: http://localhost:8080/file/041759-48.jpg]) может быть опущен в когомологич. последовательности пары (М, А). Если Азамкнуто, то [img: http://localhost:8080/file/041759-49.jpg] при Ф=Y возникающие когомологий Взависят не только от В, но и от вложения [img: http://localhost:8080/file/041759-50.jpg]. Если Ф=с и Азамкнуто, то [img: http://localhost:8080/file/041759-51.jpg] можно заменить на с, и в этом случае также [img: http://localhost:8080/file/041759-52.jpg] - когомологий "второго рода" прострапства В. Если Ф=с, но Аоткрыто, то когомологий [img: http://localhost:8080/file/041759-53.jpg] отличаются от [img: http://localhost:8080/file/041759-54.jpg] (и зависят от вложения [img: http://localhost:8080/file/041759-55.jpg]). Двойственность Пуанкаре - Лефшеца легко может быть применена для описания двойственности между гомологиями и когомологиями многообразия с краем. Полезно иметь в виду, что если все отличные от нуля слои пучка [img: http://localhost:8080/file/041759-56.jpg] изоморфны основному кольцу R, то [img: http://localhost:8080/file/041759-57.jpg]. В случае, когда пучок [img: http://localhost:8080/file/041759-58.jpg] локально постоянен, существует единственный с точностью до изоморфизма локально постоянный пучок [img: http://localhost:8080/file/041759-59.jpg], для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041759-60.jpg]. Поэтому если в гомологич. последовательности (*) вместо [img: http://localhost:8080/file/041759-61.jpg] использовать пучок коэффициентов [img: http://localhost:8080/file/041759-62.jpg], то в когомологич. последовательности станет (вместо [img: http://localhost:8080/file/041759-63.jpg]) фигурировать пучок [img: http://localhost:8080/file/041759-64.jpg]. Таким образом, наперед заданные коэффициенты в изоморфизмах двойственности могут фигурировать как в гомологиях, так и в когомологиях. Наиболее естественное доказательство П. д. получается средствами теории пучков. П. д. в топологии - частный случай соотношений двойственности типа Пуанкаре, справедливых для производных функторов в гомологич. алгебре (другой частный случай - двойственность типа Пуанкаре для гомологии и когомологий групп).