Пуанкаре интерпретация

модель, реализующая геометрию плоскости Лобачевского (гиперболич. геометрию) на плоскости комплексного переменного. В П. и. с круговым абсолютом каждая точка единичного круга Е={z:|z|<1} в плоскости z наз. гиперболической точкой, а сам круг - гиперболической плоскостью. Дуги окружностей (и диаметр) в Е, ортогональные к граничной окружности W={z:|z|=l}, наз. гиперболическими прямыми. Каждая точка W наз. идеальной точкой. Гиперболич. прямые с общей гиперболич. точкой наз. пересекающимися прямыми; с общей идеальной точкой - параллельными прямыми; прямые, к-рые не пересекаются и не параллельны,- гиперпараллель-н ы м и (расходящимися) прямыми. Так, напр., на рис. 1 изображены две прямые, проходящие через точку z1, параллельно прямой z2z3. В П. и. в полуплоскости Н={z=x+iy|y>0} каждая точка верхней полуплоскости наз. гиперболической точкой, а сама полуплоскость - гиперболической плоскостью. Полуокружности и полупрямые, ортогональные действительной оси, наз. гиперболическими прямыми. Множеством идеальных точек (абсолютом) является ось и бесконечно удаленная точка плоскости z. действительная [img: http://localhost:8080/file/041759-69.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041759-70.jpg] Аналогично П. и. с круговым абсолютом определяются параллельные, пересекающиеся и расходящиеся прямые. Так, напр., на рис. 2 изображены две прямые, проходящие через точку z1 параллельно прямой z2 z3. Движения описываются конформными преобразованиями, переводящими абсолют в себя. Расстояния определяются с помощью двойного отношения четырех точек [img: http://localhost:8080/file/041759-71.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041759-72.jpg] - идеальная точка полупрямой, исходящей из z1 и проходящей через [img: http://localhost:8080/file/041759-73.jpg] - идеальная точка полупрямой, исходящей из z2 и проходящей через z1; k - произвольное положительное постоянное; [img: http://localhost:8080/file/041759-74.jpg] Величины углов в П. и. совпадают с величинами углов в геометрии Лобачевского. П. и. предложена А. Пуанкаре (Н. Poincare, 1882).