Пуанкаре пространство

1) П. п. формальной размерности и - топологическое пространство X, где задан элемент [img: http://localhost:8080/file/041759-87.jpg], что гомоморфизм [img: http://localhost:8080/file/041759-88.jpg] вида [img: http://localhost:8080/file/041759-89.jpg] является изоморфизмом для любого k(здесь [img: http://localhost:8080/file/041759-90.jpg] -операция Уитни умножения, высечение). При этом [img: http://localhost:8080/file/041759-91.jpg] наз. изоморфизмо. Пусть X - конечное клеточное пространство, вложенное в евклидово пространство RN большой размерности N, и U - замкнутая регулярная окрестность этого вложения, a дU - ее край. Стандартное отображение [img: http://localhost:8080/file/041759-93.jpg] превращается (по Серру) в расслоение. Теорема: пространство Xявляется П. п. формальной размерности птогда и только тогда, когда слой этого расслоения гомотопически эквивалентен сфере SN-n-1. Возникающее над П. п. Xописанное расслоение (слой к-рого - сфера) единственно с точностью до стационарной эквивалентности и наз. сферическим нормальным расслоением, или расслоением Спивака, П. п. X. При этом конус проекции [img: http://localhost:8080/file/041759-94.jpg] есть Тома пространство нормального сферич. расслоения над X. Если ограничиться лишь гомологиями с коэффициентами в нек-ром поле F, то получится т. н. пространство Пуанкаре над F. Рассматриваются также пары Пуанкаре (X, А).(обобщение понятия многообразия с краем), где для нек-рой образующей [img: http://localhost:8080/file/041759-95.jpg] и любого kимеется изоморфизм двойственности Пуанкаре: [img: http://localhost:8080/file/041759-96.jpg] П. п. естественным образом возникают в задачах существования и классификации структур на многообразиях. Содержательна также задача сглаживания (триангуляции) П. п., то есть отыскания гладкого (кусочно линейного) замкнутого многообразия, гомотопически эквивалентного данному П. п. 2) П. п. n-мерное - замкнутое n-мерное многообразие М, гомологии группы Hi(M).к-рого изоморфны группам гомологии Hi(Sn) n -мерной сферы Sn;другое; название - гомологическая сфера. Односвязное П. п. гомотопически эквивалентно сфере (см. Гомотопический тип). Для группы л, реализуемой, как фундаментальная группа нек-рого П. п., имеют место равенства H1(p)=H2(p)=0, где Н i (п) - группы гомологии группы л. Обратно, для любого [img: http://localhost:8080/file/041759-97.jpg] и любой конечно представимой группы p. с H1(p) =H2(p) = 0 существует "-мерное П. п. Мс pi(M)p. Для n=3,4 этих условий недостаточно для реализации группы p в виде p=p1 (М). Так, напр., фундаментальная группа любого трехмерного П. и. допускает копредставление с одинаковым числом образующих и соотношений. Единственная конечная группа, реализуемая как фундаментальная группа трехмерного П. п., есть бинарная группа икосаэдра <x, у: х 2=y5=1>, являющаяся фундаментальной группой додекаэдра пространства - исторически первого примера П. п.