Пуанкаре уравнения

общие уравнения механики голономных систем, представимые с помощью нек-рой группы Ли бесконечно малых преобразований. Пусть х i, i=1,..., п,- переменные, определяющие положение голономной механич. системы, стесненной идеальными связями, зависящими явно от времени. Если система имеет kстепеней свободы, то существует интранзитивная группа бесконечно малых преобразований [img: http://localhost:8080/file/041760-6.jpg] позволяющая перевести систему в момент времени tиз положения xi в бесконечно близкие действительное положение xi+dxi и возможное положение xi+dxi бесконечно малыми преобразованиями группы (Х 0+ [img: http://localhost:8080/file/041760-7.jpg]) dt и подгруппы [img: http://localhost:8080/file/041760-8.jpg] соответственно. Здесь wa и ha - независимые переменные, определяющие соответственно возможные и действительные перемещения системы,- связаны уравнениями [img: http://localhost:8080/file/041760-9.jpg] если группа возможных перемещений Х a определена своими структурными постоянными cabi: [img: http://localhost:8080/file/041760-10.jpg] а оператор Х 0 перестановочен с группой возможных перемещений [img: http://localhost:8080/file/041760-11.jpg] Эти условия далее предполагаются выполненными. П. у. имеют вид обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041760-12.jpg] (1) где j - 1,..., k, [img: http://localhost:8080/file/041760-13.jpg] -функция Лагранжа, T(t, х,h).- кинетич. энергия, U(t, x) - силовая функция. Уравнения (1) были получены впервые А. Пуанкаре (см. [1]) для случая транзитивной группы возможных перемещений, когда связи не зависят явно от времени, и применены (см. [2]) для исследования движения твердого тела с эллипсоидальной полостью, целиком заполненной идеальной жидкостью, совершающей однородное вихревое движение. Н. Г. Четаев (см. [3]) обобщил П. у. на случай интразитивной группы перемещений, когда связи зависят явно от времени, и разработал их теорию (см. [3]-[5]), а также преобразовал к более простому канонич. виду (см. Четаева уравнения). В частности, им был дан (см. [5]) метод построения группы возможных и действительных перемещений, когда голономные связи заданы в дифференциальной форме, и введено важное понятие циклич. перемещения. Перемещения Xr, r=s+1,..., k, наз. циклическими, если они удовлетворяют условиям: 1) XrL = 0, 2)(XrXb) = 0, r = s + 1,..., k,b = 1,..., k. Согласно 2) циклич. перемещения Xr образуют абелеву подгруппу группы возможных перемещений, перестановочную со всеми операторами Х b. Для циклич. перемещений существуют первые интегралы П. у. [img: http://localhost:8080/file/041760-14.jpg] Из этих соотношений переменные hr можно выразить через постоянные а r и переменные t, х i,h1,..., hs и ввести функцию Рауса [img: http://localhost:8080/file/041760-15.jpg] Тогда для нециклич. перемещений П. у. принимают вид уравнений [img: http://localhost:8080/file/041760-16.jpg] (2) После интегрирования уравнений (2) значения hr определяются равенствами [img: http://localhost:8080/file/041760-17.jpg] Если дополнительно выполняются равенства с ajg=0, a, j=1,..., s; g=s+1,..., k, т. е. если нециклич. перемещения Х b,b=1,..., k, представляют собой подгруппу группы возможных перемещений, то по отношению к этой подгруппе рассматриваемая механич. система образует как бы самостоятельную голономную систему с s степенями свободы, описываемую уравнениями (1) при a, j, b=1,..., s, где роль функции Lиграет функция R. П. у. содержит как частные случаи: Лагранжа уравнения, когда группа преобразований, увеличивающая одну из переменных на бесконечно малую постоянную, приводится к группе перестановочных между собой преобразований; Эйлера уравнения вращения твердого тела, когда роль hi играют проекции р, q, r мгновенной угловой скорости.