Пуанкаре - бендиксона теория

раздел качественной теории дифференциальных уравнений и теории динамич. систем, относящийся к предельному (при [img: http://localhost:8080/file/041760-18.jpg]) поведению траекторий автономных систем двух дифференциальных уравнений 1-го порядка: [img: http://localhost:8080/file/041760-19.jpg] (*) (условия, обеспечивающие существование и единственность решений, подразумеваются выполненными). В наиболее важном случае, когда в ограниченной части плоскости система имеет только конечное число равновесия положений, основной результат А. Пуанкаре (Н. Poinсаre, см. [1]) и И. Бендиксона (I. Bendixson, см. [2]) состоит в том, что любая ограниченная полутраектория (положительная или отрицательная) либо стремится к положению равновесия, либо навивается (наподобие спирали) на предельный цикл, либо аналогичным образом навивается на замкнутую сепаратрису или "сепаратрисный контур", состоящий из нескольких сепаратрис, "соединяющих" нек-рые положения равновесия, либо сама является положением равновесия или замкнутой траекторией. Наиболее часто используемое следствие: если полутраектория не выходит из нек-рой компактной области, не содержащей положения равновесия, то в этой области имеется замкнутая траектория. Для тех случаев, когда положений равновесия бесконечное число или когда полутраектория не является ограниченной, тоже имеется достаточно полное, хотя и более сложное описание (см. [4]). Наконец, можно рассматривать непрерывный поток на плоскости, не предполагая, что он задается дифференциальными уравнениями (*), ибо при этом все еще возможно использовать основные "технические" предпосылки П.- Б. т.: Жордана теорему и последования отображение для локальных сечений, гомеоморфных отрезку (существование их доказано в [7], см. также [8]). К П.- Б. т. примыкают: открытая А. Пуанкаре связь между вращением векторного поля на границе области и индексами положений равновесия внутри нее (см. Особой точки индекс);результаты И. Бендиксона и Л. Брауэра (L. Brouwer) о возможных типах поведения траекторий возле положений равновесия (см. [2] - [5]); результаты, уточняющие роль "особых траекторий" - положений равновесия, предельных циклов и сепаратрис - в "качественной картине", возникающей на фазовой плоскости (см. [6]). Хотя общая теория дает исчерпывающую информацию о вариантах поведения фазовых траекторий, возможных для систем (*), это не отвечает на вопрос, какой вариант реализуется для той или иной конкретной системы. Решению подобных вопросов (обычно не для отдельной системы, а для нек-рого класса систем) посвящено большое количество работ, в к-рых, как правило, существенно используется общая теория, но к-рые никоим образом не сводятся к ее автоматич. применению.