Пуассона уравнение

; численные методы решения - методы, заменяющие исходную краевую задачу для уравнения Пуассона [img: http://localhost:8080/file/041760-95.jpg] (1) системой из Nлинейных алгебраич. уравнений LN(uN)=fN,(2) решение к-рой [img: http://localhost:8080/file/041760-96.jpg] позволяет построить нек-рую аппроксимацию pNuN для решения исходной задачи, [img: http://localhost:8080/file/041760-97.jpg]. В зависимости от способа сравнения решений исходной задачи (1) и дискретной задачи (2) определяются такие важнейшие понятия, как погрешность численного метода и оценка погрешности (точности). Другими характеристиками численных методов служат алгебраич. свойства систем (2) (дискретных аналогов краевых задач), связанные с устойчивостью их решений (корректностью дискретных задач) и возможностью отыскания точных или приближенных решений (2) теми или иными прямыми или итерационными методами при выполнении соответствующей вычислительной работы и соответствующих требованиях на объем используемой памяти ЭВМ (см. Минимизация вычислительной работы). Важность численного решения краевых задач для П. у. определяется не только тем, что эти задачи часто возникают в разнообразных областях науки и техники, но и тем, что они нередко служат и средством решения более общих краевых задач как для уравнений и систем уравнений эллиптич. типа, так и различных нестационарных систем. Основными численными методами для решения рассматриваемых краевых задач являются проекционные методы и разностные методы. Проекционные методы включают в себя ряд методов: вариационные, наименьших квадратов, Галеркина, проекционно-разностные, проекционно-сеточные, конечных элементов. Для всех них характерно сведение исходной краевой задачи к операторному уравнению L(u)=f (3) (оператор Lдействует, напр., из гильбертова пространства Нв Н).с последующим выбором конечномерных подпространств Н N и [img: http://localhost:8080/file/041761-1.jpg]; сама задача (3) в этих методах заменяется задачей нахождения [img: http://localhost:8080/file/041761-2.jpg] такой, что для любого [img: http://localhost:8080/file/041761-3.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041761-4.jpg] Тогда при заданных базисах в Н N и FN система (2) является системой относительно коэффициентов разложения [img: http://localhost:8080/file/041761-5.jpg] по базису Н N и за pNuN можно принять саму функцию [img: http://localhost:8080/file/041761-6.jpg]; погрешность метода естественно определить как [img: http://localhost:8080/file/041761-7.jpg]. В наиболее важных случаях Нявляется нек-рым подпространством пространства Соболева [img: http://localhost:8080/file/041761-8.jpg], и если y1(x),y2(x),...,yN(x).- базис HN, то система (2) принимает вид [img: http://localhost:8080/file/041761-9.jpg] (4) Погрешность метода при этом определяется расстоянием в H от решения исходной задачи до подпространства HN (см. [1], [5]-[9]). В современных вариантах проекционных методов подпространства Н N стремятся выбирать так, чтобы функции yi(x).имели локальные носители и в каждом уравнении (4) лишь конечное число коэффициентов было отлично от нуля. Методы такого типа и наз. проекционно-сеточными методами (проекционно-разностными, вариационно-разностными, конечных элементов) (см. [1], [4], [7] - [9], [11]). Наибольшим достоинством этих методов является их применимость при достаточно сложной геометрии области W, в к-рой рассматривается краевая задача. К проекционным методам примыкает и относительно редко применяемый коллокаций метод. Разностные (конечноразностные) методы используют аппроксимацию исходной области W нек-рой сеточной областью WN, содержащей Nузлов сетки, и обычно приводят к системе (2) на основе аппроксимации П. у. и соответствующих граничных условий их разностными (сеточными) аналогами, использующими лишь значения функции в выбранных узлах (см. [1]). Погрешность метода обычно получается сравнением вектора uN и вектора, получаемого сужением искомого решения на множество рассматриваемых узлов. Корректность и аппроксимация могут изучаться при различных выборах норм, в частности возможно использование принципа максимума; сходимость получается как следствие корректности и аппроксимации (см. [1]-[4]). Системы (2) могут выводиться и на основе нек-рых дискретных аналогов соответствующих вариационных задач и на основе аппроксимации нек-рых интегральных соотношений (см. [1], [2], [4], [10]); такие подходы несколько сближают эти варианты разностных методов с проекционно-разностными. Методы решения систем сеточных уравнений (2) наиболее интенсивно изучались для простейших разностных аналогов на параллелепипедной сетке (см. [1], [9], [11]-[19]). В случае двух переменных и области W на плоскости, являющейся прямоугольником, часто применяются для ряда граничных условий прямые методы, позволяющие найти решение (2) при затрате O(Nln N).арифметич. действий. Это - метод разделения переменных, использующий дискретное преобразование Фурье, и метод редукции (см. [12], [13]); известны и методы с оценкой O(N).действий (см. [14]). При [img: http://localhost:8080/file/041761-10.jpg] и наличии разделения переменных (W в атом случае - параллелепипед) решение (2) с точностью е>0 можно найти при затрате O(Nln N|lne|) действий с помощью итерационного метода переменных направлений (см. [1], [12]); итерационные методы с факторизуемыми операторами (метод последовательной сверхрелаксации с симметризацией, неполной матричной факторизации, попеременно-треугольный) позволяют найти решение (2) с точностью e при затрате 0(N1+1/2d |ln e|) действий (см. [12], [15]) для довольно общих ситуаций. В случае однесвязных и многосвязных областей W на плоскости, составленных из конечного числа прямоугольников, решение системы (2) с точностью е может быть найдено при затрате 0(Nln N+N3/4 |lne|In N) действий на основе разрезов W на прямоугольники (см. [15], [16]). Похожая асимптотика для дискретных аналогов задачи Дирихле в случае некоторых областей получена с помощью метода емкостей (см. [17]) и фиктивных неизвестных (см. [18]). Для ряда систем (2), являющихся проекционно-разностными аналогами исходных задач, затраты типа O(Nln N |lne|), a иногда и О(Nln N) (при [img: http://localhost:8080/file/041761-11.jpg]) достигаются с помощью итерационных методов, использующих эквивалентность операторов по спектру (см. [11], [17], [19]). Использование последовательностей сеток в ряде случаев позволяет получить итерационные методы, дающие решение (2) с точностью [img: http://localhost:8080/file/041761-12.jpg], при асимптотически минимальных затратах вычислительной работы (число действий есть 0(N)).(см., напр., [1], [9], [11], [19]).