Пульверизация

на дифференцируемом многообразии М- векторное поле Wна касательном пространстве ТМ, имеющее в терминах локальных координат (х 1,..., х п, v1,..., vn).на ТМ, естественным образом связанных с локальными координатами (х 1,..., х п).на М, компоненты (v1,..., vn, f1,..., fn), где fi=fi(x1,..., х n, v1,..., vn).- функции класса С 1, причем при фиксированных х 1,..., х п они являются положительно однородными функциями от v1,..., vn степени 2 (эти свойства Wне зависят от конкретного выбора локальных координат). Определяемая этим полем система дифференциальных уравнений [img: http://localhost:8080/file/041761-30.jpg] эквивалентна системе дифференциальных уравнений 2-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041761-31.jpg] поэтому П. описывает (причем инвариантным образом, т. е. не зависящим от системы координат) систему таких уравнений на М. Важнейший случай П.- когда fi суть многочлены 2-й степени от vi: [img: http://localhost:8080/file/041761-32.jpg] (*) В этом случае [img: http://localhost:8080/file/041761-33.jpg] задают на М аффинную связность с нулевым тензором кручения. Обратно, для всякой аффинной связности уравнения геодезич. линий задаются нек-рой П. с fi вида (*) (причем при переходе от связности к пульверизации [img: http://localhost:8080/file/041761-34.jpg] симметризуются по нижним индексам). Если поле W - класса С 2, то fi обязаны иметь вид (*). В общем случае W, каким бы гладким оно ни было вне нулевого сечения расслоения ТМ, не обязано быть полем класса С 2 возле этого сечения. В такой ситуации иногда говорят об обобщенной П., оставляя термин "П." только для специального случая (*). Дифференциальные уравнения для геодезических в финслеровой геометрии приводят к обобщенной П. Можно дать определение П. в инвариантных терминах, пригодное и для банаховых многообразий (см. [1]).