Пучок

- 1) П.- предпучок F такой, что для всякого объединения [img: http://localhost:8080/file/041762-1.jpg] открытых подмножеств Ul. топологич. пространства Xвыполнены следующие условия: 1) если ограничения на каждое Ul элементов sи s' из F(U).совпадают, то s'=s";2) если [img: http://localhost:8080/file/041762-2.jpg] таковы, что для любой пары индексов l, m ограничения sl и sm на [img: http://localhost:8080/file/041762-3.jpg] совпадают, то существует элемент [img: http://localhost:8080/file/041762-4.jpg], ограничения к-рого на все Ul. совпадают с sl. Всякий П. на Xизоморфен П. ростков непрерывных сечений некоторого накрывающего пространства [img: http://localhost:8080/file/041762-5.jpg] над X, к-рое определяется однозначно с точностью до изоморфизма (под накрывающим пространством понимается непрерывное отображение E на X, являющееся локальным гомеоморфизмом), поэтому под П. обычно понимается также и само накрывающее отображение [img: http://localhost:8080/file/041762-6.jpg] (см. Пучков теория). Е. Г. Спляренко. 2) П.- однопараметрическое семейство линий на плоскости или поверхностей в пространстве, линейно зависящее от параметра. Пусть F1 и F2 - функции двух переменных, непропорциональные друг другу. Семейство линий на плоскости, определяемых уравнением [img: http://localhost:8080/file/041762-7.jpg] при всевозможных значениях параметров l1 и l2 (кроме l1=0, l2=0), представляет собой П. (фактически П. зависит от одного параметра l1: l2). Аналогично записывается уравнение П. поверхностей в пространстве. Два уравнения F1=0, F2=0 дают два элемента П. (две линии или две поверхности), к-рые определяют весь П. Каждые два элемента П. пересекаются по одному и тому же множеству точек - носителю. Носитель П. может содержать как действительные, так и мнимые точки. Если исходные кривые П. являютcя алгебраич. кривыми порядков ти п, то носитель состоит из тп точек (действительных или мнимых, собственных или несобственных). Пучок прямых - множество всех прямых, лежащих в одной плоскости и проходящих через фиксированную точку (собственный П.) или параллельных фиксированной прямой (несобственный П.). Уравнение П. прямых имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041762-8.jpg] Пучок плоскостей - множество всех плоскостей, проходящих через фиксированную прямую (собственный П.) или параллельных нек-рой фиксированной плоскости (несобственный П.). Уравнение П. плоскостей имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041762-9.jpg] Пучок окружностей - однопараметрическое семейство окружностей, линейно зависящее от параметра. П. окружностей содержит окружности и одну прямую. Носителем (собственного) П. окружностей являются две круговые точки и две собственные точки а и b. Если [img: http://localhost:8080/file/041762-10.jpg], то П. окружностей можно определить как множество окружностей (считая прямые окружностями бесконечного радиуса), проходящих через точки аи b;если а=b, нужно дополнительно требовать, чтобы окружности касались друг друга в точке а. Если а и bдействительные и различные, П. [img: http://localhost:8080/file/041762-11.jpg] окружностей наз. эллиптическим (рис. 1), если совпавшие (действительные) - параболическим (рис. 2), если мнимые (различные) - гиперболическим (рис, 3). Несобственным П. окружностей наз. совокупность концентрических окружностей (рис. 4). У каждого собственного П. окружностей существует так наз. радикальная ось - прямая, каждая точка к-рой [img: http://localhost:8080/file/041762-12.jpg] имеет одинаковую степень точки (различную для различных точек) относительно всех окружностей П. Радикальная ось эллиптического П. проходит через общие точки окружностей; параболического - является их общей касательной; гиперболического - линией центров двух окружностей, ортогональных ко всем окружностям П. Центры окружностей П. лежат на прямой, перпендикулярной радикальной оси. Точка пересечения линии центров П. и его радикальной оси наз. центром П. Степень центра П. относительно любой окружности П. одинакова и наз. степенью П. Если ось абсцисс является линией центров окружностей П., а ось ординат - радикальной осью П., то уравнение произвольной окружности П. имеет вид [img: http://localhost:8080/file/041762-13.jpg] где t - параметр, определяющий данную окружность, р - степень П. Для эллиптического П. р<0, для параболического П. р=0, для гиперболического р>0 (степень несобственного П. можно считать бесконечной). Окружности, ортогональные всем окружностям данного П., сами образуют П.; про этот П. говорят, что он сопряжен с данным. Эллиптический П. сопряжен с гиперболическим, параболический - с параболическим. Любой П. окружностей является пересечением двух сеялок окружностей. Пучок сфер - одиопараметрическое семейство сфер, линейно зависящее от параметра. Любые две сферы П. пересекаются но нек-рой окружности действительного, нулевого или мнимого радиуса. В первом случае П. сфер наз. эллиптическим, он состоит из всех сфер, проходящих через данную окружность; во втором - параболическим, П. состоит из всех сфер, касающихся друг друга в общей точке; в третьем - гиперболическим, П. состоит из всех сфер, ортогональных к нек-рым трем данным сферам, пересекающимся в двух точках. У П. сфер имеется так наз. радикальная плоскость, каждая точка к-рой имеет одинаковую степень (различную для разных точек) относительно сфер П.; центры всех сфер П. лежат на одной прямой, перпендикулярной радикальной плоскости. П. офер является пересечением трех сетей сфер, центры к-рых не лежат на одной прямой. В проективной геометрии алгебраическим пучком прямых наз. множество всех прямых проективной плоскости, координаты u1, u2, u3 к-рых удовлетворяют уравнению F (u1, u2, u3)=0, где F(u1, u2, u3) - не равный тождественно нулю многочлен, однородный относительно переменных u1, u2, u3;степень многочлена Fназ. степенью (или порядком) П. прямых. Алгебраический П. прямых первого порядка задается уравнением a1u1+aau2+a3u3=0 и представляет собой множество всех прямых, проходящих через точку с координатами (a1, a2, а 3). Алгебраический П. прямых второго порядка задается уравнением [img: http://localhost:8080/file/041762-14.jpg] где fij- действительные числа, среди к-рых по крайней мере одно отлично от нуля. Если дискриминант d=|fij|, i=1, 2, 3, отличен от нуля, П. прямых второго порядка наз. невырожденным, если d=0 - вырожденным. Каждый невырожденный П. второго порядка является множеством касательных к невырожденной линии второго порядка; каждая невырожденная линия второго порядка является огибающей нек-рого невырожденного П. второго порядка.