Пфаффа проблема

- проблема описания интегральных многообразий максимальной размерности для системы Пфаффа уравнений [img: http://localhost:8080/file/041762-15.jpg] (*) задаваемой набором из qдифференциальных 1-форм в нек-рой области [img: http://localhost:8080/file/041762-16.jpg] (или на нек-ром многообразии), линейно независимых в каждой точке. Подмногообразие [img: http://localhost:8080/file/041762-17.jpg] наз. интегральным многообразием системы (*), если ограничение форм qa на Nтождественно равно нулю. П. п. была поставлена И. Пфаффом (J. Pfaff, 1814). С геометрия, точки зрения система (*) определяет (п-q)-мерное распределение (Пфаффа структуру).в М, т. е. поле [img: http://localhost:8080/file/041762-18.jpg] (п-q)-мерных подпространств, а П. п. состоит в описании подмногообразий максимальной возможной размерности, касающихся этого поля. Важность П. п. определяется тем, что интегрирование произвольного уравнения с частными производными может быть сведено к (соответствующим образом уточненной) П. п. Напр., интегрирование уравнения 1-го порядка [img: http://localhost:8080/file/041762-19.jpg] сводится к П. п. для уравнения Пфаффа [img: http://localhost:8080/file/041762-20.jpg] на многообразии (вообще говоря, с особенностями), задаваемом в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041762-21.jpg] уравнением [img: http://localhost:8080/file/041762-22.jpg] Вполне интегрируемая система Пфаффа (а также одно уравнение Пфаффа постоянного класса) локально может быть приведена к простому канонич. виду. В этих случаях решение П. п. сводится к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. В общем случае (в классе гладких функций) П. п. не решена (1983). В аналитич. случае П. п. была решена Э. Картаном (Е. Cartan) в его теории систем в инволюции. Формулировка основной теоремы Картана основана на понятии регулярного интегрального элемента, k-мерное подпространство Ek касательного пространства Т Х М наз. k- мерным интегральным элементом системы (*), если [img: http://localhost:8080/file/041762-23.jpg] Подпространство S(Е k).кокасательного пространства [img: http://localhost:8080/file/041762-24.jpg], порожденное 1-формами [img: http://localhost:8080/file/041762-25.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041762-26.jpg] - операция внутреннего умножения, наз. полярной системой интегрального элемента Е k. Интегральный элемент Ek наз. регулярным, если существует такой флаг [img: http://localhost:8080/file/041762-27.jpg], для н-рого [img: http://localhost:8080/file/041762-28.jpg] где максимум берется по всем i-мерным интегральным элементам Е'i, содержащим Ei-1. Теорема Картана утверждает следующее: пусть Nесть k-мерное интегральное многообразие системы Пфаффа с аналитич. оэффициентами и для нек-рого [img: http://localhost:8080/file/041762-29.jpg] касательное пространство TXN является регулярным интегральным элементом. Тогда для любого интегрального элемента [img: http://localhost:8080/file/041762-30.jpg] размерности k+1 существует в некрой окрестности точки хинтегральное многообразие [img: http://localhost:8080/file/041762-31.jpg], локально содержащее N, для к-рого [img: http://localhost:8080/file/041762-32.jpg] Теорема Картана была обобщена на произвольные дифференциальные системы, задаваемые идеалами в алгебре дифференциальных форм на многообразии (теорема Картана - Кэлера).