Пpo-p-группа

- проконечная группа, являющаяся проективным пределом конечных р-групп. Напр., аддитивная группа кольца [img: http://localhost:8080/file/041750-1.jpg] целых р-адичсских чисел является П.-р-г. В теории Галуа П.-р-г. появляются как группы Галуа р-расширений полей. Пусть Gесть П.-p-г. Ее системой образующих наз. подмножество [img: http://localhost:8080/file/041750-2.jpg], обладающее свойствами: 1) Gсовпадает с минимальной замкнутой подгруппой группы G, содержащей Е,2) в любой окрестности единицы группы Gсодержатся почти все (т. е. все, кроме конечного числа) элементы из Е. Пусть I - множество индексов и FI - абстрактная свободная группа с системой образующих [img: http://localhost:8080/file/041750-3.jpg]. Проективный предел F(I).системы групп FI/N, где N - такие нормальные делители группы FI, что индекс подгруппы Nв FI является степенью числа р, а почти все элементы ai, [img: http://localhost:8080/file/041750-4.jpg], лежат в N, является П.-р-г., к-рая наз. свободной П.-р-г. с системой образующих [img: http://localhost:8080/file/041750-5.jpg]. Всякая замкнутая подгруппа свободной П.-р-г. сама является свободней П.-р-г. Всякая П.-р-г. Gесть факторгруппа свободной П.-р-г., то есть существует точная последовательность гомоморфизмов П.-р-г. [img: http://localhost:8080/file/041750-6.jpg] где F - подходящая свободная П.-р-г. (эта последовательность наз. представлением группы Gс помощью F). Подмножество [img: http://localhost:8080/file/041750-7.jpg] наз. системой соотношений группы G, если Rявляется наименьшим замкнутым нормальным делителем в R, содержащим Е, и любой открытый нормальный делитель в Rсодержит почти все элементы из Е. Мощности минимального (относительно включения) множества образующих и минимальной системы соотношений соответствующего представления П.-р-г. Gдопускают когомологич. интерпретацию: первая мощность совпадает с размерностью над [img: http://localhost:8080/file/041750-8.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/041750-9.jpg], а вторая - с размерностью над [img: http://localhost:8080/file/041750-10.jpg] пространства [img: http://localhost:8080/file/041750-11.jpg]. Здесь [img: http://localhost:8080/file/041750-12.jpg] рассматривается как дискретный G-модуль с тривиальным действием. Если G - конечная р-группа, то 4 dim H2 (G) [img: http://localhost:8080/file/041750-13.jpg] (dim H1 (G) -1)2; из этого результата выводится отрицательное решение классич. проблемы башни полей классов [4].