Равновеликие и равносоставленные фигуры

- две фигуры в R2, имеющие равные площади и соответственно два многоугольника M1 и М 2 такие, что их можно разрезать на многоугольники так, что части, составляющие М 1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим М 2. Для [img: http://localhost:8080/file/041801-6.jpg], равновеликость означает равенство объемов; равносоставленность многогранников определяется аналогично с [img: http://localhost:8080/file/041801-7.jpg]. Эти понятия обобщаются также на неевклидовы геометрии. Площадь (многоугольника) есть функция s(M), удовлетворяющая следующим аксиомам: (a) [img: http://localhost:8080/file/041801-8.jpg] для любого многоугольника М; (b) если Месть объединение многоугольников М 1,..., Mk, попарно не имеющих общих точек, то s(M)=s(M1)+...+s(Mk);(g) если M1 и M2 конгруэнтны, то s(M1)=s(M2); (d) площадь квадрата, стороной которого является единица длины, равна 1. С помощью этих аксиом определяется площадь прямоугольника. Теорема. Если два многоугольника равносостав-лены, то они равновелики. На этой теореме основан метод разбиения, известный еще Евклиду: для вычисления площади многоугольника пытаются разбить его на конечное число частей, из к-рых можно составить фигуру известной площади. Напр., параллелограмм равносоставлен с прямоугольником, имеющим то же основание и ту же высоту (см. рис. 1); треугольник равносоставлен с параллелограммом, имеющим то же основание и вдвое меньшую высоту (см. рис. 2). [img: http://localhost:8080/file/041801-9.jpg] Таким образом, вся теория площадей многоугольников может быть построена на основе теоремы о площади прямоугольника. Существует и другой способ вычисления площадей, основанный на аксиомах (b) и (g),- метод дополнения. Два многоугольника наз. равнодополняемыми, если их можно дополнить соответственно конгруэнтными частями так, чтобы получились конгруэнтные многоугольники. [img: http://localhost:8080/file/041801-10.jpg] Напр., параллелограмм и прямоугольник с одинаковыми основаниями и одинаковыми высотами равнодополняемы (см. рис. 3) и потому равновелики. В евклидовой плоскости два многоугольника в том и только в том случае равновелики, если они равносоставлены (а также если они равнодополняемы). Аналогичная теорема справедлива в плоскости Лобачевского и в эллиптической плоскости. Напротив, в неархимедовой геометрии эквивалентны лишь равновеликость и равнодополняемость; равновеликость же им не эквивалентна. Теория объемов в [img: http://localhost:8080/file/041801-11.jpg] базируется на аксиомах (а), (b), (g), (d), аналогичных аксиомам площади. Однако для вычисления объема тетраэдра со времен Евклида используется предельный переход ("чертова лестница"), а в современных учебниках - интеграл, определение к-рого также связано с предельным переходом. Обоснование использования "лишнего" (по сравнению с планиметрией) предельного перехода, доказательство того, что методами разбиения и дополнения невозможно вычислить объем произвольного тетраэдра, составили третью проблему Гильберта. В 1900 М. Ден (М. Dehn), решил третью проблему, доказав, что правильный тетраэдр и равновеликий ему куб не равносоставлены. Для равносоставленности двух равновеликих многогранников Mi и М 2 в [img: http://localhost:8080/file/041801-12.jpg] необходимо и достаточно, чтобы для каждого инварианта Дена f(М).(нек-рой функции от длин ребер и величин соответствующих двугранных углов, см. [2]) выполнялось равенство f(М 1)=f(M2). Имеются многомерные обобщения инвариантов Дена, с помощью к-рых сформулировано необходимое условие равносоставленности и доказано, что при [img: http://localhost:8080/file/041801-13.jpg] правильный re-мерный симплекс не равносоставлен с равновеликим ему кубом. В [img: http://localhost:8080/file/041801-14.jpg] необходимое условие равносоставленности является также и достаточным. Пусть G - нек-рая группа движений плоскости. Два многоугольника М 1 и М 2 наз. G-конгруэнтными, если существует такое движение [img: http://localhost:8080/file/041801-15.jpg], что g(M1)=M2. Два многоугольника М 1 и М 2 наз. G-равносоставленными, если их можно разрезать на части таким образом, что части, доставляющие M1, соответственно конгруэнтны частям, составляющим M2 Аналогично определяется G-равносоставленность многогранников. Пусть S - группа движений, состоящая из всех параллельных переносов и центральных симметрии. Понятия равносоставленности и S-равносоставленности в R2 эквивалентны. В частности, равновеликие многоугольники можно разбить на части таким образом, что соответствующие их части не только конгруэнтны, но и имеют соответственно параллельные стороны. Равносоставленность в том и только в том случае эквивалентна G-равносоставленности, если [img: http://localhost:8080/file/041801-16.jpg] в случае [img: http://localhost:8080/file/041801-17.jpg] и [img: http://localhost:8080/file/041801-18.jpg] в случае [img: http://localhost:8080/file/041801-19.jpg], где D0 - группа всех движений, сохраняющих ориентацию. Ниже приводится определение флаговых инвариантов, позволяющих дать необходимое и достаточное условие T-равносоставленности, где Т - группа всех параллельных переносов. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041801-20.jpg] - такая последовательность подпространств пространства [img: http://localhost:8080/file/041801-21.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041801-22.jpg] (верхний индекс означает размерность). Пусть, далее, для каждого j=i+l,..., n фиксировано одно из двух полупространств, на к-рое [img: http://localhost:8080/file/041801-23.jpg] разбивается подпространством [img: http://localhost:8080/file/041801-24.jpg]; это полупространство наз. "положительным" и обозначено через Pj. Последовательность Ф= (Р п,..., Pi+1).наз. флагом порядка i в [img: http://localhost:8080/file/041801-25.jpg]. Пусть, наконец, Q= (М п-1,...,М i) - такая последовательность граней многогранника [img: http://localhost:8080/file/041801-26.jpg], что [img: http://localhost:8080/file/041801-27.jpg]. Если Mj||RJ для всех j = i,..., п-1, то полагают [img: http://localhost:8080/file/041801-28.jpg] где | М i| есть i-мерный объем грани М i, а ej= + 1 в зависимости от того, примыкает ли М j+1 к Mj с положительной стороны или нет. Если же [img: http://localhost:8080/file/041801-29.jpg] хотя бы для одного j, то Н ф(Q)=0; Н ф(М п) - сумма S Н ф(Q).по всем последовательностям Q, составленным из граней многогранника М п. Два равновеликих многогранника в том и только в том случае Г-равносоставлены, если для каждого флангового инварианта Н ф его значения на этих многогранниках одинаковы. Многогранник [img: http://localhost:8080/file/041801-30.jpg] наз. k- кратной суммой Минковского, если существуют такие многогранники N1,..., Nk (положительных размерностей), несущие плоскости к-рых порождают разложение пространства [img: http://localhost:8080/file/041801-31.jpg] в такую прямую сумму, что Mn=N1+... +Nk, (в смысле векторной суммы множеств). Многогранник называется принадлежащим классу [img: http://localhost:8080/file/041801-32.jpg], если М п можно разбить на конечное число многогранников, каждый из к-рых T-равносоставлен с многогранником, представляющимся в виде k-кратной суммы Минковского. Многогранник [img: http://localhost:8080/file/041801-33.jpg] в том и только в том случае, если Н ф(М п)=0 для всех флаговых инвариантов H Ф порядков, меньших k. Пусть Г - группа, состоящая из всех гомотетий с положительными коэффициентами и параллельных переносов. В Rn любые два многогранника Г-равносоставлены. Рис. 4 иллюстрирует Г-равносоставленность треугольника и прямоугольника (одинаковыми цифрами обозначены Г-конгруэнтные многоугольники). Пусть при гомотетии с коэффициентом l>0 объем n-мерного многогранника увеличивается в ln раз. Если принять это утверждение как аксиому, то объем любого многогранника может быть найден методом разбиения. [img: http://localhost:8080/file/041801-34.jpg] Пусть группа движений G в n -мерном евклидовом, гиперболическом или эллиптич. пространстве почти транзитивна (т. е. орбита точки всюду плотна); два многогранника в этом пространстве тогда и только тогда G-равнодополняемы, когда они G-равносоставлены.