Радемахера система

- ортонормированная на отрезке [0,1] система [img: http://localhost:8080/file/041860-57.jpg]. Введена X. Радемахером [1]. Функции [img: http://localhost:8080/file/041860-58.jpg] можно определить равенствами [img: http://localhost:8080/file/041860-59.jpg], [img: http://localhost:8080/file/041860-60.jpg]... Другое определение функций Радемахера [img: http://localhost:8080/file/041860-61.jpg] получается путем рассмотрения двоичных разложений чисел отрезка [0,1]: если в двоичном разложении числа хна k-м месте стоит цифра 0, то полагают [img: http://localhost:8080/file/041860-62.jpg], если же на k-м месте стоит 1, то [img: http://localhost:8080/file/041860-63.jpg]; в случае же, когда x=0 или число хдопускает два разложения, полагают [img: http://localhost:8080/file/041860-64.jpg]. Согласно этому определению отрезок [0,1] распадается на [img: http://localhost:8080/file/041860-65.jpg] равных подинтервала, в каждом из которых функция [img: http://localhost:8080/file/041860-66.jpg] принимает попеременно значения +1 и -1, а на концах подинтервалов [img: http://localhost:8080/file/041860-67.jpg] Система [img: http://localhost:8080/file/041860-68.jpg] представляет типичный пример стохастически независимых функций и имеет применения как в теории вероятностей, так и в теории ортогональных рядов. Одно из важных свойств Р. с. устанавливается теоремой Радемахера: если [img: http://localhost:8080/file/041860-69.jpg], то ряд [img: http://localhost:8080/file/041860-70.jpg] сходится почти всюду на [0,1], и теоремой Хинчина-Колмогорова: если [img: http://localhost:8080/file/041860-71.jpg], то ряд [img: http://localhost:8080/file/041860-72.jpg] расходится почти всюду на [0,1]. Так как функции Радемахера в двоично иррациональных точках интервала [0,1] принимают лишь значения ±1, то рассмотрение ряда [img: http://localhost:8080/file/041860-73.jpg] означает, что у членов ряда [img: http://localhost:8080/file/041860-74.jpg] выбирается распределение знаков ±1, зависящее от точки х. Если x=0, a1 a2... an...- представление числа [img: http://localhost:8080/file/041860-75.jpg] в виде бесконечной двоичной дроби, то при an=0 перед с п ставится знак + и при an=1 ставится знак -. Вышеприведенные теоремы в терминах теории вероятностей означают, что если [img: http://localhost:8080/file/041860-76.jpg], то ряд [img: http://localhost:8080/file/041860-77.jpg] сходится для почти всех распределений знаков (сходится с вероятностью 1), и если [img: http://localhost:8080/file/041860-78.jpg], то ряд [img: http://localhost:8080/file/041860-79.jpg] расходится для почти всех распределений знаков (расходится с вероятностью 1). Наоборот, ряд теорем теории вероятностей можно сформулировать в терминах функций Радемахера. Напр., теорема Кантелли о том, что при игре "в герб и решетку" со ставкой 1 средний выигрыш с вероятностью 1 стремится к нулю, означает, что почти всюду на [0,1] выполняется равенство [img: http://localhost:8080/file/041860-80.jpg]