Размерность

топологического пространства X - целочисленный инвариант dim X, определяемый следующим образом. Тогда и только тогда dim X = -1, когда [img: http://localhost:8080/file/041862-82.jpg]. О непустом тополо-гич. пространстве Xговорят, что оно не более чем n-мерно, и пишут dim [img: http://localhost:8080/file/041862-83.jpg], если в любое конечное открытое покрытие пространства Xможно вписать конечное открытое покрытие пространства Xкратности [img: http://localhost:8080/file/041862-84.jpg]. Если [img: http://localhost:8080/file/041862-85.jpg] для нек-рого п=-1,0,1,..., то пространство Xназ. конечномерным, пишется [img: http://localhost:8080/file/041862-86.jpg] и считается [img: http://localhost:8080/file/041862-87.jpg] При этом если dim X = n, то пространство наз. n-мерным. Понятие Р. топологич. пространства обобщает элементарно-геометрич. понятие числа измерений евклидова пространства (и полиэдра), т. к. размерность n-мерного евклидова пространства (и любого n-мерного полиэдра) равна n (теорема Брауэра - Лебега). Важность понятия Р. топологич. пространства выявляется теоремой Нёбелинга - Понтрягина - Гуревича -Куратовского: n-мерное метризуемое со счетной базой пространство вкладывается в (2n+1)-мерное евклидово пространство. Таким образом, класс пространств, топологически эквивалентных подпространствам всевозможных n-мерных евклидовых пространств, n=1, 2,..., совпадает с классом конечномерных метризуемых пространств со счетной базой. Размерность dim Xиногда наз. лебеговой, т. К определению Р. топологич. пространства возможен другой - индуктивный - подход (см. Индуктивная размерность), основанный на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Этот подход к понятию Р. восходит к А. Пуанкаре (Н. Poincare), Л. Брауэру (L. Brouwer), П. С. Урысону и К. Менгеру (К. Menger). В случае метризуемых пространств он эквивалентен лебеговскому. Основы теории Р. были заложены в 1-й пол. 20-х гг. 20 в. в работах П. С. Урысона и К. Менгера. К кон. 30-х гг. была построена теория Р. метризуемых пространств со счетной базой, а к нач. 60-х гг.- теория Р. любых метризуемых пространств. Ниже все рассматриваемые топологич. пространства считаются нормальными и хаусдорфовыми. В этом случае в определении Р. без ущерба вписываемые открытые покрытия можно заменить на замкнутые. Лебегов подход к определению Р. (в отличие от индуктивного подхода) позволяет в случае любых рассматриваемых пространств геометризовать понятие Р. посредством сравнения исходного топологич. пространства с простейшими геометрич. образованиями - полиэдрами. Грубо говоря, пространство n-мерно тогда и только тогда, когда оно сколь угодно мало отличается от n-мерного полиэдра. Точнее, имеет место теорема Александрова об w-отображениях: тогда и только тогда [img: http://localhost:8080/file/041862-90.jpg], когда для любого конечного открытого покрытия и пространства Xсуществует w-отображение пространства Xна не более чем n-мерный, n=0,1,2,..., (компактный) полиэдр. Особую наглядность сформулированная теорема приобретает в случае компактов: для компакта Xтогда и только тогда dim [img: http://localhost:8080/file/041862-91.jpg], когда для любого e>0 существует e-отображение компакта на не более чем n-мерный полиэдр. Если еще Xлежит в евклидовом или гильбертовом пространстве, то e-отображение можно заменить e-сдвигом (теорема Александрова об e-о тображениях и e-сдвигах). Следующее утверждение позволяет выяснить, какова Р. пространства, посредством его сравнения со всевозможными n-мерными кубами: тогда и только тогда dim [img: http://localhost:8080/file/041862-92.jpg], когда пространство обладает существенным отображением на n-мерный куб, n=0,1,2,... (теорема Александрова о существенных отображениях). Этой теореме можно придать следующую форму. Тогда и только тогда [img: http://localhost:8080/file/041862-93.jpg], когда для любого замкнутого в Xмножества Аи любого непрерывного отображения [img: http://localhost:8080/file/041862-94.jpg] в n-мерную сферу существует непрерывное продолжение [img: http://localhost:8080/file/041862-95.jpg], n=0,1,..., отображения f. Следующая характеристика Р. указывает на роль этого понятия в вопросах существования решений систем уравнений: тогда и только тогда dim [img: http://localhost:8080/file/041862-96.jpg], n=1,2,..., когда в Xсуществует такая система дизъюнктных пар замкнутых множеств Ai, Bi, i=l,..., n, что для любых непрерывных на Xфункций fi, удовлетворяющих условию [img: http://localhost:8080/file/041862-97.jpg],..., п, найдется точка [img: http://localhost:8080/file/041862-98.jpg], в к-рой fi(x) = 0, i=1,..., (т е о р е м а Отто - Эйленберга - Хеммингсена о перегородках). Одно из важнейших свойств Р. выражает теорема суммы Менгера - Урысона - Чеха: если пространство Xесть конечная или счетная сумма своих замкнутых подмножеств размерности [img: http://localhost:8080/file/041862-99.jpg], то и [img: http://localhost:8080/file/041862-100.jpg], n=0,1,... В этой теореме можно условие конечности или счетности суммы заменить условием ее локальной конечности. Аналогичное теореме суммы утверждение для большой и малой индуктивных Р. не выполняется уже в классе бикомпактов. Следующие утверждения принадлежат к числу основных общих фактов теории Р. и позволяют сводить рассмотрение любых пространств к рассмотрению бикомпактов. Для любого нормального пространства а) dim bX =dim X,Ind bX = Ind X, где b Х- максимальное бикомпактное расширение Стоуна -- Чеха пространства X;в то же время неравенство ind bХ> >ind X =Ind X возможно; б) существует бикомпактное расширение bХ пространства X, вес к-рого [img: http://localhost:8080/file/041862-101.jpg] равен весу [img: http://localhost:8080/file/041862-102.jpg], и размерность dim bХ равна размерности dim X;аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. Особенно интересен случай счетного веса пространства, т. к. в этом случае расширение bХ метризуемо. Утверждение б) может быть усилено следующим предложением: для. любого n=0,1,... и любой бесконечной мощности существует бикомпакт [img: http://localhost:8080/file/041862-103.jpg] веса [img: http://localhost:8080/file/041862-104.jpg] и размерности [img: http://localhost:8080/file/041862-105.jpg], содержащий гомеоморфный образ любого нормального пространства Xвеса [img: http://localhost:8080/file/041862-106.jpg] и размерности [img: http://localhost:8080/file/041862-107.jpg] (теорема об универсальном бикомпакте данного веса и размерности). Аналогичное утверждение верно и для большой индуктивной Р. При этом в качестве [img: http://localhost:8080/file/041862-108.jpg] можно взять канторово совершенное множество, а в качестве [img: http://localhost:8080/file/041862-109.jpg] - менгеровскую универсальную кривую. Казалось бы, что Р. должна обладать свойством монотонности: dim [img: http://localhost:8080/file/041862-110.jpg], если АМ Х. Это так, если а) множество Азамкнуто в Xили сильно паракомпактно, или б) пространство Xметризуемо (и даже совершенно нормально). Однако уже для подмножества Анаследственно нормального пространства Xможет быть dim A>dim Xи Ind A>Ind Х. Но всегда [img: http://localhost:8080/file/041862-111.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041862-112.jpg] при АМ Х. Одним из важнейших вопросов теории Р. является поведение Р. при непрерывных отображениях. В случае замкнутых отображений (к ним принадлежат и все непрерывные отображения бикомпактов) ответ дается формулами В. Гуревича (W. Hurewicz), полученными им первоначально в классе пространств со счетной базой. Формула Гуревича для повышающих размерность отображений: если отображение [img: http://localhost:8080/file/041862-113.jpg] непрерывно и замкнуто, то кратность [img: http://localhost:8080/file/041862-114.jpg], где кратность [img: http://localhost:8080/file/041862-115.jpg] Формула Гуревича для понижающих размерность отображений: для непрерывного замкнутого отображения [img: http://localhost:8080/file/041862-116.jpg] на па-ракомпакт Yвыполняется неравенство [img: http://localhost:8080/file/041862-117.jpg] (1) где [img: http://localhost:8080/file/041862-118.jpg] Для произвольного нормального пространства Yэта формула, вообще говоря, неверна. В случае непрерывных отображений конечномерных компактов установлено, что непрерывное отображение f размерности dim f=k является суперпозицией kнепрерывных отображений размерности 1 (это - уточнение формулы (1) и аналог того факта, что k-мерный куб есть произведение kотрезков). В случае открытых отображений можно показать, что образ нульмерного бикомпакта нульмерен и в то же время гильбертов кирпич есть образ одномерного компакта, даже если соответствующее отображение f имеет размерность dim f, равную нулю. Однако в случае открытого отображения [img: http://localhost:8080/file/041862-119.jpg] бикомпактов Xи Yкратности [img: http://localhost:8080/file/041862-120.jpg] выполняется равенство dim X=dim Y. Поведение Р. при взятии топологич. произведения описывают следующие утверждения: а) существуют такие конечномерные компакты Xи Y, что [img: http://localhost:8080/file/041862-121.jpg]; б) если один из сомножителей произведения [img: http://localhost:8080/file/041862-122.jpg] бикомпактен или метризуем, то [img: http://localhost:8080/file/041862-123.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041862-124.jpg]; в) существуют такие нормальные пространства Xи Y, что [img: http://localhost:8080/file/041862-125.jpg] В случае бикомпактных Xи Y всегда [img: http://localhost:8080/file/041862-126.jpg], если [img: http://localhost:8080/file/041862-127.jpg]., но может быть [img: http://localhost:8080/file/041862-128.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041862-129.jpg]. Если же бикомпакты XиYсовершенно нормальны или одномерны, то [img: http://localhost:8080/file/041862-130.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041862-131.jpg]. Наиболее содержательна теория Р. прежде всего в классе метрич. пространств со счетной базой и затем в классе любых метрич. пространств. В классе мет-рич. пространств со счетной базой выполняются равенства Урысона dimX = indX = IndX. (2) В классе любых метрич. пространств выполняется р а-венство Катетова dimX = IndX (3) и может быть ind X=0<IndX=l. В случае метрич. пространств понятие n-мерного пространства следующими двумя способами может быть сведено к понятию нульмерного пространства. Для метрич. пространства Xтогда и только тогда [img: http://localhost:8080/file/041863-1.jpg], n=0,1,..., когда а) пространство X может быть представлено в виде не более чем n+1 нульмерных слагаемых; б) существует непрерывное замкнутое отображение кратности [img: http://localhost:8080/file/041863-2.jpg] нульмерного метрич. пространства на пространство X. Для любого подмножества Аметрич. пространства Xнайдется такое подмножество [img: http://localhost:8080/file/041863-3.jpg] типа [img: http://localhost:8080/file/041863-4.jpg] в X, что dim B=dim A. В классе метрич. пространств веса [img: http://localhost:8080/file/041863-5.jpg] и размерности [img: http://localhost:8080/file/041863-6.jpg] существует универсальное (в смысле вложений) пространство. Важную роль в построении теории Р. любых метрических (и более общих) пространств сыграла теорема Даукера: тогда и только тогда dim [img: http://localhost:8080/file/041863-7.jpg], когда в любое локально конечное открытое покрытие пространства X можно вписать открытое покрытие кратности [img: http://localhost:8080/file/041863-8.jpg] Одним из наиболее важных вопросов теории Р. является вопрос о соотношениях между лебеговой и индуктивными Р. Хотя для произвольного пространства Xзначения размерностей dim X,ind X,Ind X, вообще говоря, попарно различны, однако для нек-рых классов пространств, в том или ином смысле близких к метрическим, выполнено, напр., следующее: а) если пространство Xобладает непрерывным замкнутым отображением f размерности dim f=0 на метрич. пространство, то выполняется равенство (3), отсюда следуют равенства (2) для локально бикомпактных групп и их факторпространств; б) если существует непрерывное замкнутое отображение метрич. пространства на пространство X, то выполняются равенства (2). Еще одно общее условие для выполнения равенства (3) для паракомпакта Xвыглядит так: dim X=n и пространство X является образом нульмерного пространства при замкнутом отображении кратности [img: http://localhost:8080/file/041863-9.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041863-10.jpg], n=0,1,... В случае произвольного пространства X всегда выполняются неравенства [img: http://localhost:8080/file/041863-11.jpg], а равенства dim Х = 0 и IndX = 0 равносильны. Для сильно паракомпактного (в частности, бикомпактного или финально компактного) пространства X выполняется неравенство dim [img: http://localhost:8080/file/041863-12.jpg]. Для бикомпактов равенства ind X=l и IndX = l равносильны. Существуют бикомпакты, удовлетворяющие первой аксиоме счетности (и даже совершенно нормальные в предположении континуум-гипотезы), для которых dim Х=1, ind X=n, n=2,3,... Построен пример топологич. однородного бикомпакта с dim X<ind X. Для совершенно нормальных бикомпактов всегда ind X=Ind X. Существуют бикомпакты даже с первой аксиомой счетности, для к-рых indX<IndX. Существует ли такое т, что для каждого n>m найдется бикомпакт (метрич. пространство) X с ind X=m,Ind X = n,- неизвестно (1983). В случае неметризуемых пространств Р. может не только не быть монотонной, но и обладает другими патологич. свойствами. Для любого n=2,3,... построен пример такого бикомпакта [img: http://localhost:8080/file/041863-13.jpg], что любое замкнутое подмножество его имеет Р. или 0 или [img: http://localhost:8080/file/041863-14.jpg]. Аналогичный пример в случае индуктивных Р. невозможен. Построен также для любого n=1,2,...пример такого бикомпакта [img: http://localhost:8080/file/041863-15.jpg], что любое разбивающее этот бикомпакт замкнутое множество имеет размерность n=dim [img: http://localhost:8080/file/041863-16.jpg]. Таким образом, подход к определению Р. в случае неметризуемого пространства в принципе отличен от индуктивного подхода А. Пуанкаре, основанного на разбиении пространства подпространствами меньшего числа измерений. Бикомпакты [img: http://localhost:8080/file/041863-17.jpg] имеют непосредственное отношение к следующему утверждению: в любом n-мерном бикомпакте содержится n-мерное канторово многообразие. Подмножество n-мерного евклидова пространства Е п тогда и только тогда n-мерно, когда оно содержит внутренние относительно Е n точки. Компакт имеет размерность [img: http://localhost:8080/file/041863-18.jpg] тогда и только тогда, когда он обладает отображением Р. нуль в Е п, и, таким образом, с точностью до нульмерных отображений n-мерные компакты не отличимы от ограниченных замкнутых, содержащих внутренние (относительно Е).точки подмножеств Е п. См. также Размерности теория.