Разреженность множества

[img: http://localhost:8080/file/041864-103.jpg] в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-104.jpg] - локальный признак того, что Еявляется полярным множеством. Непустое множество [img: http://localhost:8080/file/041864-105.jpg] наз. р а з р е ж е н н ы м в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-106.jpg] в двух случаях: 1) если [img: http://localhost:8080/file/041864-107.jpg] не является предельной точкой Е, то есть [img: http://localhost:8080/file/041864-108.jpg], где [img: http://localhost:8080/file/041864-109.jpg] - производное множество для Е;2) если [img: http://localhost:8080/file/041864-110.jpg] и в окрестности [img: http://localhost:8080/file/041864-111.jpg] существует супергармонич. функция [img: http://localhost:8080/file/041864-112.jpg] (см. Субгармоническая функция).такая, что [img: http://localhost:8080/file/041864-113.jpg] Множество Еявляется полярным тогда и только тогда, когда оно - разреженное множество (р. м.) в каждой из своих точек. Для произвольного множества Еподмножество тех точек, в к-рых Еесть р. м., является полярным. Любое непустое подмножество р. м. в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-114.jpg] является р. м. в [img: http://localhost:8080/file/041864-115.jpg]. Объединение конечного числа р. м. в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-116.jpg] является р. м. в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-117.jpg] Отрезок на плоскости [img: http://localhost:8080/file/041864-118.jpg] не является р. м. ни в одной из своих точек. Если [img: http://localhost:8080/file/041864-119.jpg] - р. м. в точке [img: http://localhost:8080/file/041864-120.jpg], то существуют сколь угодно малые окружности с центром [img: http://localhost:8080/file/041864-121.jpg], не пересекающиеся с Е. Полярное множество [img: http://localhost:8080/file/041864-122.jpg] вполне разрывно. Однако канторово множество меры нуль на оси абсцисс не является р. м. ни в одной из своих точек. Вместе с тем в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041864-123.jpg], напр., множество точек [img: http://localhost:8080/file/041864-124.jpg] имеющее острие в точке (0, 0, 0), где [img: http://localhost:8080/file/041864-125.jpg] - ньютонов потенциал плотности tна отрезке [img: http://localhost:8080/file/041864-126.jpg] [img: http://localhost:8080/file/041864-127.jpg], есть р. м. в острие [img: http://localhost:8080/file/041864-128.jpg] (п р и м е р Л е б е г а).