Рамануджана суммы

- зависящие от двух целочисленных параметров kи птригонометрич. суммы [img: http://localhost:8080/file/041865-92.jpg] где hпробегает все целые неотрицательные числа, меньшие, чем k, и взаимно простые с k. Основные свойства Р. с.- мультипликативность относительно индекса k: [img: http://localhost:8080/file/041865-93.jpg] а также представление через функцию Мёбиуса m: [img: http://localhost:8080/file/041865-94.jpg] Р. с. являются ограниченными, если ограничено kлибо п. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041865-95.jpg] Многие мультипликативные функции от натурального аргумента разлагаются в ряды по Р. с. и наоборот, основные свойства Р. с. позволяют просуммировать суммы вида [img: http://localhost:8080/file/041865-96.jpg] где f(n) - мультипликативная функция, [img: http://localhost:8080/file/041865-97.jpg] - целое число. В частности, [img: http://localhost:8080/file/041865-98.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041865-99.jpg] - дзета-функция Римана, s а (п) - сумма a-х степеней делителей числа n. Такие суммы тесно связаны с особыми рядами нек-рых аддитивных проблем теории чисел, напр. представление натуральных чисел в виде четного числа квадратов. С. Рамануджаном [1] были получены многие формулы, содержащие Р. с.