Рангов вектор

- векторная статистика R= =(R1,..., Rn), построенная по случайному вектору наблюдений X= (Х 1..., Х п), i-я компонента к-рой Ri=Ri(X), i=l, 2,..., п, определяется по правилу [img: http://localhost:8080/file/041866-55.jpg] где [img: http://localhost:8080/file/041866-56.jpg] - характеристическая функция множества [img: http://localhost:8080/file/041866-57.jpg], т. е. [img: http://localhost:8080/file/041866-58.jpg] Статистика Ri наз. р а н г о м i-й компоненты Х i:, i=l, 2,..., п, случайного вектора X. Определение Р. в. будет корректным при выполнении следующего условия: [img: http://localhost:8080/file/041866-59.jpg] к-рое заведомо выполняется, если распределение вероятностей случайного вектора Xзадается плотностью р(х)=р(х 1,..., х n). В этих условиях из определения Р. в. следует, что статистика Rпринимает значения в пространстве [img: http://localhost:8080/file/041866-60.jpg] всех перестановок r= (rl, r2,..., rn) чисел 1, 2,..., п, при этом реализация ri (ri=1, 2,..., п).ранга Ri численно равна количеству компонент вектора X, наблюденные значения к-рых не превосходят реализации i-й компоненты Xi, i=l, 2,..., п. Пусть [img: http://localhost:8080/file/041866-61.jpg] - вектор порядковых статистик, построенный по вектору наблюдений X. Тогда пара [img: http://localhost:8080/file/041866-62.jpg] является достаточной статистикой для распределения вектора X, причем сам вектор Xоднозначно восстанавливается по достаточной статистике [img: http://localhost:8080/file/041866-63.jpg]. Кроме того, при дополнительном предположении о симметричности плотности вероятности р(х).случайного вектора Xотносительно перестановок аргументов компоненты [img: http://localhost:8080/file/041866-64.jpg] достаточной статистики [img: http://localhost:8080/file/041866-65.jpg] независимы и [img: http://localhost:8080/file/041866-66.jpg] В частности, если [img: http://localhost:8080/file/041866-67.jpg] (1) т. е. компоненты X1, Х 2,..., Х п случайного вектора Xсуть независимые одинаково распределяемые слу- чайные величины (f(xi) - плотность вероятности случайной величины Х i), то [img: http://localhost:8080/file/041866-68.jpg] (2) для любого k=1,2,..., п. При выполнении условия (1) существует совместная плотность вероятности q(xi, k), k=1,2,..., п, случайных величин Xi и Ri, к-рая выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041866-69.jpg] (3) где F(xi) - функция распределения случайной величины Xi. Из (2) и (3) следует, что условная плотность вероятности [img: http://localhost:8080/file/041866-70.jpg] случайной величины Х i при условии, что Ri=k(k=1,2,..., n), выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041866-71.jpg] (4) Последняя формула позволяет проследить внутреннюю связь, существующую между вектором наблюдений X, Р. в. R и вектором порядковых статистик [img: http://localhost:8080/file/041866-72.jpg], так как (4) есть не что иное, как плотность вероятности k- йпорядковой статистики [img: http://localhost:8080/file/041866-73.jpg], k=1,2,..., п. Кроме того, из (3) следует, что условное распределение ранга Ri выражается формулой [img: http://localhost:8080/file/041866-74.jpg] И, наконец, при допущении о существовании моментов Е{Xi} и D{Xi}и выполнении (1) из (2) и (3) следует, что коэффициент корреляции [img: http://localhost:8080/file/041866-75.jpg] между Xi, и Ri, равен [img: http://localhost:8080/file/041866-76.jpg] В частности, если Xi подчиняется равномерному распределению на отрезке [0,1], то [img: http://localhost:8080/file/041866-77.jpg] Вслучае, если Xi подчиняется нормальному распределению N(а,s2), [img: http://localhost:8080/file/041866-78.jpg] то причем не зависит от параметров нормального закона. [img: http://localhost:8080/file/041866-79.jpg]